Нахождение зависимости максимального дохода от количества дефицитного сырья.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине «оптимизационные методы и модели»

для студентов дневной формы обучения

 

 

Утверджено на заседании

кафедры прикладной математики.

 

Протокол№_______________

 

от “___” __________2013

 

 

Составители:

 

к.т.н., проф. Нудный И.П.

 

 

Запорожье 2013

 

 

Задания комплексного И.Д.З.

 

Задача 1. Для производства изделий А,В,С используется четыре вида сырья.Каждый из видов сырья может бать использован в количестве.соответственно не большем М_1,М₂,М₃,М₄.

Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции и цена единицы продукции заданы таблицей.

Вид сырья	Нормы затрат на единицу лродукции	Колич. сырья
А	В	С
I				М1
II				М2
III				М3
IV				М4
Цена единицы продукции	N1	N2	N3

 

 

Лаб.раб. №1

Определить план выпуска продукции,при котором обеспечивается ее максимальная стоимость, и найти эту стоимость.

 

Лаб.раб. №2

1.Определить,какой вид сырья необходимо приобрести дополнительно,чтобы увеличение прибыли было максимальным.

2.Найти зависимость максимальной стоимости продукции от количества сырья,ислользуемого полностью или с наименьшим остатком. Расчеты произвести для значений [M_i / 2, 2M_i ] с интервалом ∆M_i=3M_i/10. Здесь і-номер сырья,используемого максимально.

 

Лаб.раб. №3

3.Считая, что количество продукции может выражаться только в целых единицах,определить новый план выпуска продукции с учетом целочисленности.

 

Задача 2. ( Лаб. раб. № 4)Задана матрица С стоимостей перевозки единицы товара, вектор производства а (количество товара, производимого каждым производителем), вектор потребления b (количество товара, потребляемого каждым потребителем).

a = (a₁ a₂ a₃ a₄₎

C = b =(b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ )

 

Составить план перевозок, чтобы суммарные транспортные расходы были минимальными.

 

Задача 3. ( Лаб. раб. № 5)Задана матрица эффективностей С - матрица оценок выполнения заданных работ каждым работником (например, в пятибалльной системе):

 

C =

 

Нужно распределить работников по работам так,чтобы все работы были выполнены при наибольшей эффективности.

 

Задача 4. ( Лаб. раб. № 6)Полагая,что продукція производится в течении восьми месяцев, определить оптимальное количество работников в каждом месяце. Идеальное количество работников в i -ом месяце равно m_i (i=1-8). Допускается,что работа i -го месяца может быть выполнена и меньшим числом работников при сверхурочной работе. Затраты, связанные с изменением количества работников при переходе от (i- 1 ) -го месяца к i -му определяются функцией f _i(x_i-x_i-1), где х_i – фактическое количество работников в i-м месяце. Отклонение количества работников в i -м месяце от m_i приводит к потерям

g (x_i-m_i). Первоначальное количество работников было m₀.

Оптимальным будем считать такое количество работников,при котором обеспечивается выполнение задания при минимальных суммарных потерях.

 

 

f_i(x_i-x_i-1) =

 

g_i(x_i-m_i) =

 

Задача 5. ( Лаб. раб. № 7)Для производства изделий А и В используется три вида сырья.Каждый из видов сырья может бать использован в количестве соответственно не большем М_1,М₂,М₃.

Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции и цена единицы продукции заданы таблицей.

 

Вид сырья	Нормы затрат на единицу лродукции
А	В
I
II
III
Цена едницы продукции	5N1	5N2

 

Общие расходы на производство единицы продукции вида А равны х ₁, а на производство единицы продукции вида В равны 2 х ₂, где х ₁-количество единиц продукции вида А, х ₂-количество единиц продукции вида В.

Составить план производства, чтобы получить максимальную прибыль.

 

Исходные данные к лабораторным работам №1-№3, №7

 

 

Вариант	М1	М2	М3	М4	N1	N2	N3

 

 

Исходные данные к лаб. раб.№4.

 

= (N 30 10 45) = (20 25 15 10 2N)

 

 

С=

 

где N – номер варианта,

 

 

К =

 

 

Исходные данные к лаб. раб.№5

 

 

1≤ N≤ 5 6≤ N≤ 10 11≤ N≤ 15

 

C= C= C=

 

 

16≤ N≤ 20 21≤ N≤ 25

 

C= C=

 

 

N – номер варианта

 

Исходные данные к лаб. раб.№6.

 

 

Вари ант

a1

a2

b1

b2

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m8

m9

m10

m11

m12

 

 

Лабораторная работа № 1.

Определение оптимального плана выпуска продукции при заданных ресурсах.

Цель работы: Использование средств MS EXCEL для решения задач линейного программирования.

Содержание работы:

- ввод исходных данных (матриц коэффициентов),

- запись формул через адреса ячеек, используя встроенные функции,

- использование процедуры «Поиск решения«для нахождения экстремума целевой функции при заданных ограничениях.

 

Постановка задачи. Для производства изделий А, В, С используется четыре вида сырья. Каждый из видов сырья может бать использован в количестве.соответственно не большем 130, 80, 90, 70.

Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции и цена единицы продукции заданы таблицей.

 

Вид сырья	Нормы затрат на единицу лродукции
А	В	С
I
II
III
IV
Цена единицы продукции

Определить план выпуска продукции,при котором обеспечивается ее максимальная стоимость, и найти эту стоимость.

Решение

Обозначим:

x_{1- количество изделий вида A,}

x_{2 - количество изделий вида B,}

x_{3 - количество изделий вида C.}

 

Тогда математическая модель данной задачи будет:

 

F= 10x₁ + 8x₂ + 12x₃→ max

Ограничения на каждое из видов сырья:

 

3х₁ + 4х₂ + х₃ ≤ 130

2х₁ + 5х₂ +3х₃ ≤ 80

4х₁ + х₂ + 2х₃ ≤ 90

5х₁ + 6х₂ +4 х₃ ≤ 70

Кроме того, должно быть: х_1, х₂ , х₃ ≥ 0.

 

 

Решение производим на компьютере в Excel. Вводим исходные данные, полагая начальные значения неизвестных равными нулю.

 

 

 

 

Записываем в F4 формулу для левой части первого ограничения, зафиксировав адреса ячеек с начальными значениями искомых переменных.

 

 

 

Вводим данную формулу (Enter), протягиваем ее на ячейки F5-F7 и в ячейку G4 з аписываем формулу для остатка сырья 1-го вида

 

 

 

Вводим данную формулу (Enter), протягиваем ее на ячейки G5-G7 и в ячейку G13 з аписываем формулу целевой функции

После введения формулы целевой функции получим

Вызываем процедуру «Поиск решения».Указываем, что целевая функция находится в ячейке G13 и что ее нужно максимизировать,что изменяемые ячейки B13:D13. Так же указываем на неотрицательность переменных. Записываем ограничения:

F4 ≤ E4, F5 ≤ E5, F6 ≤ E6, F7 ≤ E7

(Если процедура «Поиск решения» отсутствует, то ее необходимо активизировать следующим образом: Файл, Параметры, Надстройки, Надстройки Excel, Перейти, выбрать Пакет анализа и Поиск решения, ОК)

 

Все записи вводятся щелчком на соответствующую ячейку.

Указываем на линейность модели и неотрицательность значений:

 

 

После выполнения вычислений получим:

 

 

Таким образом, для получения максимальной прибыли в размере 210 д.е. нужно произвести 17,5 изделий вида С, не производя изделий А и В. При этом, сырье 4-го вида используется полностью, т.е. является дефицитным.

 

 

Лабораторная работа № 2.

Нахождение зависимости максимального дохода от количества дефицитного сырья.

 

Цель работы: Провести численный эксперимент по определению зависимости максимального дохода от количества дефицитного сырья.

Содержание работы:

- из лаб. раб.№1 определить дефицитное сырье (сырье, которое в процессе работы используется полностью).

-используя процедуру «Поиск решения» решить несколько задач линейного программирования, отличающихся только количеством дефицитного сырья, меняя это количество в диапазоне [M_i / 2, 2M_i ] с интервалом ∆M_i=3M_i/10. Здесь і-номер сырья, используемого максимально.

-по полученным решениям построить график зависимости максимального дохода от количества дефицитного сырья.

- определить максимальное количество дефицитного сырья, при котором доход увеличивается

Из решения предыдущей задачи

 

 

определяем, что сырье 4-го вида является дефицитным.

Находим решение исходной задачи для значений М₄ ={35; 56; 77; 98; 119; 140}.

 

Поле выполнения вычислений получим

 

 

 

 

 

Так как целевая функция все увеличивается, проведем еще расчет для М₄ = 161:

 

 

 

 

Таким образом, имеем зависимость стоимости продукции от сырья IV-го вида (наиболее дефицитного):

Сырье Х               Стоимость У         330,57 347,5 347,5

 

 

Построим график данной зависимости. Для построения графика в Excel нужно выделить данные,по которым строится график, выбрать команды

Вставка – Диаграммы – Точечная и выбрать тип графика.

 

Максимальное количество дефицитного сырья, при котором доход увеличивается,равно 140 ед.

Лабораторная работа № 3.