б)Допустим,b = 50.Сколько кораблей за месяц возьмут на абордаж пираты?
в)Допустим, теперь (при b = 50)каждый новый корабль защищен все лучше, и поэтому 
Чему будет равно количество взятых на абордаж кораблей и какие усилия приложат пираты в зависимости от N?
Решение:
а)В этом пункте корабль уже найден и поэтому издержки поиска можно не учитывать при выборе количества усилий, они в любом случае понесены. Запишем прибыль пиратов: 
.Это парабола ветвями вниз по q, 
, что и будет ответом на пункт а)
б)Запишем прибыль для энного корабля при оптимальном количестве усилий q,которое было найдено выше.q(50)=7 П=35*7-2,5*49-10N=122,5-10N Если прибыль будет не меньше нуля для энного корабля, то пираты найдут и следовательно возьмут на абордаж этот корабль. 
.Так как корабли могут быть только целыми-на абордаж будут взяты 12 кораблей, потому что 13-й искать не выгодно.
Ответ:12.
В)Теперь 
, 
.Очевидно, что четвертый корабль пираты на абордаж не возьмут, также очевидно, что третий корабль будет взят на абордаж. Значит, возьмут 3 корабля, приложив к абордажу энного корабля усилия, равные
2.На рынке действуют 2 фирмы:A и В. Издержки каждой фирмы равны 
.Спрос на рынке равен 
.Какие объемы производства выберут фирмы и сколько единиц товара будет продано и по какой цене, если
А)Сначала выбирает выпуск фирма А, потом-В
Б)Обе фирмы выбирают выпуск одновременно
В)Фирмы конкурируют по цене и одновременно устанавливают цену. Если фирмам безразлично, уйти с рынка или оставаться, то они предпочтут остаться.
Решение:
a)P=42-Qa-Qb. Решим задачу с конца. 
Это парабола ветвями вниз относительно Qb, 
. Тогда для фирмы А прибыль будет равна 
Qa=16, Qb=8, Q=24, P=18
б)Записываем прибыли для каждой компании и находим зависимость ее выпуска от выпуска другой фирмы для каждой из 2 фирм и получаем систему из 2 уравнений Qa=16-0,5Qb и Qb=16-0,5Qa, решением которой является пара чисел Qa=12,Qb=12.
Ответ:Qa=12,Qb=12,Q=24,P=18
в)Фирмы имеют одинаковые издержки и конкурируют по цене, значит обе установят цену на уровне своих МС(так как иначе если цена у одной фирмы выше МС, другая может поставить цену ниже, чем у нее и забрать весь спрос)то есть Р=МС=10,Qa=16,Qb=16,Q=32.
Страна может производить 2 товара:X и Y.Товара Х максимально можно произвести 820 единиц. Для производства n-й единицы товара Yпридется отказаться от n единиц товара X.Сколько максимально комплектов из единицы Х и единицы Y может произвести страна, если Y-обязательно целое число?
Решение:
Заметим следующее: На первом шаге мы уменьшаем Х на одну единицу и получаем прирост Y на одну единицу. На втором шаге, уменьшая Х на 2 единицы, получаем снова прирост Y на одну единицу. И так далее – до тех пор, пока Х не станет равным 0 (а Y при этом достигнет максимума, обозначим его как у). Очевидно, на этом пути по оси OX мы сделаем y шагов, каждый из которых на единицу больше предыдущего. Их суммарная длина равна 820.По формуле арифметической прогрессии получаем, что 
,тогда 
=0 у1=40,у2=-41,что не подходит, остается у1.
Тогда крайние точки КПВ будут Х=820 и Y=40.Для производства сороковой единицы Y пришлось отказаться от 40иксов.Значит точка (40;39) лежит на КПВ. Больше 39 комплектов мы очевидно произвести не можем, поэтому ответ-39.
Ответ:39 комплектов.
4 Робинзон на острове решил выращивать какие-то странные корнеплоды, которые он там нашел. Всего в год рабочих дней у Робинзона 300.Для выращивания корнеплода он делает топоры, потом при помощи них делает с/х оборудование и при помощи него выращивает корнеплоды. Для изготовления одного топора требуется 50 дней. Производство с\х оборудования описывается функцией: 
, где А – количество топоров, Lk – объем труда, затраченный на изготовление оборудования. Общее количество странных корнеплодов, выращенное Робинзоном, выражается функцией: 
,где Lq – объем труда, непосредственно затраченный на выращивание корнеплода. Какое максимальное количество корнеплодов сможет вырастить Робинзон?
Решение:
Lq = 300 – 50А – Lk = 
. 
Максимум этой функции достигается при условии, что ее частные производные будут равны нулю. Частная производная по А равна 0 при 
. Подставим это в частную производную по К, приравняем к 0 и получим 300-150А=0.А=2 К=200 Lk=100 lq=100 Q=20000.Ответ:20000.
Всероссийский этап пробной олимпиады школьников, вариант 1.
1 Илья С. является монополистом на рынке игрушек необычной формы и price-taker-ом на рынке капитала. Спрос на рынке игрушек представлен одной группой потребителей и равен 
.Для производства товара используется только капитал и 
.На рынке капитала действует монополист, издержки которого равны 
.Также в стране на всех рынках введен НДС в размере 20% на производителя. В РФ фирма может получить возвращение НДС, если он был уплачен за товар, использующийся для предпринимательской деятельности(например за капитал в данной задаче, за сам товар Илья С. не получит возвращения НДС).
а)Допустим, производитель хочет получить 100 рублей за продажу товара. Какую цену он установит при НДС равном 20%?
Б)Какая цена установится на обоих рынках? Чему будет равна прибыль Ильи С. и монополиста на рынке капитала и сколько денег уйдет в бюджет гос-ва в качестве НДС?