A)Какой объем производства и какую цену выберет фирма?

В стране есть четыре равные по численности группы населения: бедные, средний класс, богатые и очень богатые. Люди внутри одной группы имеют одинаковый доход. Известно, что доход представителя среднего класса в полтора раза больше, чем доход бедняка, и в два с половиной раза меньше дохода богача, а так же то, что доход очень богатых равен доходу всего остального населения. Чему равен коэффициент Джини в стране?

Решение: Обозначим общий доход всего населения как Y.Доход бедного обозначим за t.Тогда доход представителя среднего класса равен 1,5t,а доход богача равен 3.75t.Доход очень богатых таким образом равен 6,25t,а доход всего общества-12,5t.Значит, бедные имеют 0,08 общего дохода, средний класс-0,12общего дохода, богатые-0,3 общего дохода, а очень богатые-0,5.

Далее вычислим коэффициент Джини любым удобным способом:

G=

Ответ:0,36.

4На рынке товара со спросом работает монополист, несущий издержки только на оплату труда. Имея L человеко-часов труда, он может произвести единиц товара. На рынке труда действует профсоюз, максимизирующий зарплату, полученную в сумме всеми работниками и назначающий ставку w.Сколько работников и по какой зарплате наймет монополист?

Решение: Запишем прибыль монополиста от L: .Это парабола ветвями вниз относительно . ,это парабола ветвями вниз относительно w, , Ответ: 25 работников по зарплате 50

Муниципальный этап пробной олимпиады школьников, вариант 2:

1Продавец-монополист имеет издержки Спрос задан функцией Q=200-P.Какую максимальную сумму продавец готов заплатить за модернизацию производства, после которой издержки станут равны ?

Решение: Заметим, что МС возрастают, а МR-убывают. Тогда максимум прибыли достигается при МС = МR. , .Приравниваем, решаем, получаем 2 корня,-12,3333333

и 5.Нам подходит только 5.Цена в этом случае будет равна 195,а прибыль-525

После модернизации новые возрастающие МС равны .Теперь продано будет 10 единиц по цене 190 за единицу. Прибыль составит 985.За модернизацию монополист максимально готов заплатить П2-П1=985-525=460

Ответ:460.

2Потребитель тратит весь свой доход на 2 товара,X и Y.Его полезность равна .Его доход равен 100, , .Cколько единиц каждого товара купит потребитель, максимизирующий полезность?

Решение: Заметим, что мы можем перейти к максимизации функции полезности так как - монотонно возрастающая по n функция.Px*x+Py*y=I 2x+5y=100 , ,это парабола ветвями вниз по y,поэтому у=50:5=10.x=50-25=25.

Ответ:25 единиц товара Х и 10 единиц товара Y.

3В стране спрос на товар Х равен а предложение обладает постоянной единичной эластичностью и так же в равновесии продается 50 единиц товара. Государство решило ввести потоварный налог на производителя, максимизирующий сборы.. Какая цена сложится на рынке после этого и какой налог государство установит?

Решение: Предложение, обладающее постоянной единичной эластичностью- .В равновесии 75-P=50,значит Р=25. .Теперь ,

Qd=Qs. t, .Это парабола ветвями вниз относительно t.Т=37,5.

4Мир состоит из 2 стран. В стране А спрос на товар Х равен ,а в стране В- .Предложение в стране А равно ,А в стране B- .Какая страна будет импортировать товар, а какая -экспортировать? Найдите объем экспорта\импорта и мировую цену.

Решение: Цена товара в стране А составит 30,а количество-50.Цена товара в стране Б составит 25,а количество-75.В стране Б товар дешевле, чем в А, поэтому А будет импортировать, а Б-экспортировать. , ,Ex=Im

Региональный этап пробной олимпиады школьников, вариант 1:

1Жители одного королевства очень любят палить из пушек. Для этого им нужны пушки, на которые они предъявляют спрос, равный ,предложение равно .Пушки,

разумеется, нужно заряжать и на рынке ядер спрос и предложение выглядят следующим образом: ,где Q-число купленных пушек. .Король для военных нужд решил купить 10 пушек(Ядра уже есть,поэтому их покупать НЕ НАДО),и после напоминания от советника о том, что казна пустеет решил профинансировать закупку за счет потоварного налога на производителя ядер. Закупка и введение налога происходят одновременно. Какую ставку налога установит король?

2 Товар может выпускаться на станках двух типов. Станок типа A имеет следующие издержки использования: . Станок типа В имеет издержки . Выпуск фирмы – не обязательно целое число.Спрос на товар составляет Q=251,25 - P.

a)Какой объем производства и какую цену выберет фирма?

б)Теперь объем выпуска - обязательно целое число. Как изменятся ответы на вопросы п.а)при этом условии?

2.a) Q=Q1+Q2 МС возрастают, поэтому оптимальный объем выпуска достигается при их равенстве, иначе можно перераспределить выпуск между станками так, чтобы достигалось равенство и снизить издержки. +1,25.

Если выпуск меньше или равен 1,25,то все производится на первом станке, иначе

MR=251,25-2Q.Заметим, что выпуск точно больше 1,25.MR=MC. Q=100 P=151,25

б)В случае дискретных MC , .Действуя аналогично п.а) получаем .

Ответы на вопросы пункта а) не изменятся. Это можно было понять, увидев целый объем выпуска в первом пункте.

Фермер имеет поля двух типов, на первом поле 1 типа можно вырастить 120кг пшеницы или 30 кг кукурузы. На первом поле 2 типа альтернативные издержки выращивания 1 ед.пшеницы постоянны и равны 2 кг кукурузы. При 10 единицах пшеницы можно вырастить 40 единиц кукурузы. Фермер может осваивать новые участки под поля, в таком случае второе поле 1 типа стоит 3 у.е, а 2 типа-12 у.е., с каждым следующим полем производительность полей падает в 2 раза, а цена освоения растет в 2 раза.(Производительность 2 полей каждого типа равна половине производительности первых полей такого же типа). Осваивать можно бесконечно большое количество полей. Фермер продает комплекты из 2 единиц пшеницы и 1 единицы кукурузы по 64 у.е. за комплект. Если фермеру все равно, осваивать поле или нет, он будет осваивать. Сколько полей каждого типа освоит фермер?

Решение: выведем уравнение КПВ поля второго типа. Крайние точки в координатах (П;К) будут следующими:(0;60) и (30;0).Заметим, что поле второго типа имеет сравнительное преимущество в производстве кукурузы, а поле первого типа- в производстве пшеницы. Также можно увидеть то, что если каждый тип полей будет специализироваться на той культуре, в выращивании которой он имеет сравнительное преимущество, будет достигнут максимум комплектов, равный для энных полей первого и второго типа, а выручка составит .При этом издержки для энных полей(но не первых) обеих типов составляют 15* .Тогда он будет открывать новые поля пока ,то есть дальше четвертого поля он осваивать не будет.

Ответ:4 поля каждого типа.

4 Функция полезности индивида задана как .Доход потребителя, который он полностью тратит на потребление равен 15000 денежных единиц, , .За каждую купленную за деньги пару продуктов Х и Y потребитель получает в подарок одну единицу продукта Х. Сколько всего единиц продуктов X и Y поступит в распоряжение потребителя, если он будет максимизировать свою полезность?

Решение: Мы можем максимизировать функцию ,так как корень - монотонно возрастающая функция. Пусть Хm – объем продукта Х, купленный за деньги, Хр – объем продукта Х, полученный в подарок. Общий объем продукта Х = Xm + Xp. Придется рассмотреть три варианта: 1) Хm > Y; 2) Хm < Y; 3) Хm = Y.

1) Хm > Y. Исходя из нашего предположения, все единицы Y будут куплены в паре с единицами Х. Пусть Z – число пар, а (Xm – Y) – число единиц Х, купленных вне пар. Тогда общее количество товара Х будет определяться формулой: Х = Z + (Xm – Y) + Xp = Z + (Xm – Y) + Z. Последнее Z в этой формуле означает число единиц товара Х, полученных в подарок за каждую пару Х и Y, купленную за деньги. Общее количество товара Y, приобретенное индивидом: Y = Z. Бюджетное ограничение: 15000 = (Xm – Y) + 6Z = (Xm – Z) + 6Z. Xm = 15000 – 5Z. = Z = Z = . U1' = = 0. Z1 = 3750 (не подходит, так как индивид не сможет на свой бюджет купить 3750 пар Х и Y). Z2 = 1250. Докажем, что при Z = 1250 достигается максимум функции U1. U1'' = 96Z – 240000. При Z = 1250 U'' = – 120000. Вторая производная отрицательна. Это значит, что мы получили максимум. Xm = 15000 – 5Z = 8750. Общий объем Х, полученный индивидом: Х = Xm + Z = 8750 + 1250 = 10000. Общий объем Y = Z 1250.

2) Хm < Y. Пусть Z – число пар, а (Y – Xm) – число единиц Y, купленных вне пар. Общее количество товара X, полученное индивидом: X = Хm + Z = 2Z.Записываем бюджетное ограничение и действуем аналогично 1 случаю, получаем Z1=0,Z2=10000,что не удовлетворяет условию.

Если Xm=Y,X=2Z=2Y,X=5000,Y=2500 ,что меньше, чем в 1 случае. Поэтому оптимальный набор достигается в 1 случае.

Ответ:X=10000,8750 из них за деньги,Y=1250

Региональный этап пробной олимпиады школьников, вариант 2:

1Пираты плавают по морю и берут на абордаж корабли. Издержки поиска каждого нового корабля составляют , где N-то, какой по счету корабль за месяц они собираются найти. Затратив на абордаж и обыск корабля, можно найти сокровищ.Число кораблей всегда целое.