Прогрессии геометрические

3.2.1 Найти четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, у которых сумма крайних членов равна -49, а сумма средних членов равна 14.

3.2.2 Найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем , сумма которой равна 6, а сумма пяти первых членов равна .

3.2.3 Вычислить

3.2.4 Найти четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвёртого на 560.

3.2.5 Найти четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвёртого на 18.

3.2.6 Знаменатель геометрической прогрессии равен , четвёртый член этой прогрессии равен , а сумма всех членов этой прогрессии равна . Найти число членов прогрессии.

3.2.7 Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что и .

3.2.8 Найти первый и пятый член геометрической прогрессии, если известно, что её знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равна 1820.

3.2.9 Произведение первых трёх членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

3.2.10 Решить уравнения:

а) , где ;

б) , где .

3.2.11 Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна 153,6. Найти четвёртый член и знаменатель прогрессии.

3.2.12 Найти число членов конечной геометрической прогрессии, у которой первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12 и 3072.

3.2.13 Найти знаменатель бесконечной геометрической прогрессии (), у которой каждый член в четыре раза больше суммы всех последующих её членов.

3.2.13 Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший угол которого равен , образуют арифметическую прогрессию с разностью . Определить число сторон этого многоугольника.

3.2.15 В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами и со знаменателем сумма трёх первых членов рана 10,5, а сумма прогрессии 12. Найти прогрессию.

3.2.16 Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

3.2.17 Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии равно 406 При делении девятого члена этой прогрессии на её четвёртый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найти первый член и разность прогрессии.

3.2.18 Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

3.2.19 Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, образующую арифметическую прогрессию. Найти седьмой член геометрической прогрессии.

3.2.20 Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа.

3.2.21 Найти три числа, образующие геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно

3.2.22 Доказать, что любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему пропорциональному между любыми членами, равноудалёнными от него.

3.2.23 Найти сумма семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем , если её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов членов к сумме членов к сумме членов к сумме членов равно .

3.2.24 Найти четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую прогрессии. Сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних равна 18.

3.2.25 Найти сумму

.

3.2.26 Даны две бесконечные геометрических прогрессии со знаменателем , отличающиеся только знаком их знаменателей. Их суммы равны и . Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий.

3.2.27 Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем равен 1, а её сумма равна . Из квадратов членов прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. Найти её сумму.

3.2.28 Найти пятый член возрастающей геометрической прогрессии, зная, что её первый член равен и что каждый её член, начиная со второго, равен разности двух соседних с ним членов.

3.2.29 Найти первый и пятый член геометрической прогрессии, если известно, что её знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равна 1820.

3.2.30 Произведение первых трёх членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

3.2.31 Решить уравнения:

а) , где ;

б) , где .

3.2.32 Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна 153,6. Найти четвёртый член и знаменатель прогрессии.

3.2.33 Найти число членов конечной геометрической прогрессии, у которой первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12 и 3072.

 

Мат. индукция

Доказать, что при каждом натуральном n число делится на b, если

4.1.1 = -125, b=45

4.1.2 = +26* + , b=59

4.1.3 = -18n-9, b=18

4.1.4 = + , b=19

4.1.5 =7* +12* , b=19

4.1.6 = + + , b=11

4.1.7 = + - , b=17

4.1.8 = -1, b=48

4.1.9 = , b=33

4.1.10 = , b=133

4.1.11 = , b=17

4.1.12 = b=27

4.1.13 = , b=3

4.1.14 = , b=148

4.1.15 = , b=3

4.1.16 = , b=60

4.1.17 = , b=30

4.1.18 = , b=6

4.1.19 = , b=6

4.1.20 Доказать, что сумма кубов любых трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

4.1.21 Доказать, что при каждом натуральном n число является натуральным.

4.1.22 Доказать, что при каждом натуральном n число делится на 6.

4.1.23 Доказать, что при каждом натуральном n число делится на 6.

4.1.24 Доказать, что при каждом натуральном n число будет целым.

4.1.25 Доказать, что при каждом натуральном n число делится на 9.

4.1.26 Найти все такие натуральные n, для которых справедливо неравенство

4.1.27 Доказать, что при каждом натуральном n справедливо неравенство .

4.1.28 Доказать, что при каждом натуральном n число делится на 9.

4.1.29 Найти все такие натуральные n, для которых справедливо неравенство .

4.1.30 Доказать, что при каждом натуральном n число будет целым.

4.1.31 Доказать, что при каждом натуральном n число делится на 6.

4.1.32 Доказать, что при каждом натуральном n число делится на 9.

4.1.33 Найти все такие натуральные n, для которых справедливо неравенство .

 

4.2.1 Доказать, что при каждом натуральном n справедлива формула 1+2+3+…+(n-1)+n= .

4.2.2 Последовательность задана рекуррентным соотношением , , n 2. Доказать, что

4.2.3 Последовательность задана рекуррентным соотношением , Доказать, что

4.2.4 Доказать, что при каждом натуральном n справедлива формула .

4.2.5 Доказать, что при каждом натуральном n () справедливо равенство .

4.2.6 Найти сумму .

4.2.7 При каждом натуральном n найти сумму .

4.2.8 Доказать, что при каждом натуральном n число будет целым.

4.2.9 Доказать, что при каждом натуральном n справедлива формула .

4.2.10 Последовательность задана рекуррентным соотношением , Доказать, что

4.2.11 Последовательность задана рекуррентным соотношением , Доказать, что

Доказать, что при каждом натуральном n справедливо равенство:

4.2.12 .

4.2.13 .

4.2.14

4.2.15 .

4.2.16 .

4.2.17 .

4.2.18 .

4.2.19 .

4.2.20 .

4.2.21 .

4.2.22 .

4.2.23

4.2.24 .

4.2.25 .

4.2.26 .

4.2.27 .

4.2.28 .

4.2.29 .

4.2.30 .

4.2.31 .

4.2.32 .

4.2.33 .

 

 

 

Бином

Разложить по формуле бинома Ньютона и упростить:

5.1.1

5.1.2

5.1.3

5.1.4

5.1.5

5.1.6

5.1.7

5.1.8

Пусть . Найти:

5.1.9

5.1.10

5.1.11

5.1.12 Пусть . Найти .

5.1.13 Пусть . Найти .

Разложить по формуле бинома Ньютона и упростить:

5.1.14 .

5.1.15 .

5.1.16 .

5.1.17 .

5.1.18 .

5.1.19 .

5.1.20 .

5.1.21 .

5.1.22 .

5.1.23 .

5.1.24 .

5.1.25 .

5.1.26 .

5.1.27 .

5.1.28 .

5.1.29 .

5.1.30 .

5.1.31 .

5.1.32 .

5.1.33 .

 

5.2.1 Найти два средних члена разложения .

5.2.2 Найти в биномиальном разложении член, не содержащий .

5.2.3 Найти пятый член разложения .

5.2.4 Найти пятый член разложения .

5.2.5 Найти два средних члена разложения .

5.2.6 Найти в биномиальном разложении член, не содержащий .

5.2.7 Найти шестой член биномиального разложения .

5.2.8 Найти шестой член биномиального разложения .

5.2.9 Найти в биномиальном разложении член, не содержащий z.

5.2.10 Найти два средних члена разложения .

5.2.11 Найти пятый член биномиального разложения .

5.2.12 Найти пятый член биномиального разложения .

5.2.13 Найти в биномиальном разложении член, не содержащий .

5.2.14 Найти два средних члена разложения .

5.2.15 Найти шестой член разложения .

5.2.16 Найти шестой член разложения .

5.2.17 Найти два средних члена разложения .

5.2.18 Найти в биномиальном разложении член, не содержащий .

5.2.19 Найти пятый член биномиального разложения .

5.2.20 Найти пятый член биномиального разложения .

5.2.21 Найти в биномиальном разложении член, не содержащий z.

5.2.22 Найти два средних члена разложения .

5.2.23 Найти два средних члена разложения .

5.2.24 Найти два средних члена разложения .

5.2.25 Сколько рациональных членов содержит разложение .

5.2.26 Сколько рациональных членов содержит разложение .

5.2.27 Найти число , если известно, что третий член разложения по формуле бинома Ньютона равен .

5.2.28 В разложении по формуле бинома Ньютона найти коэффициент при .

5.2.29 В разложении по формуле бинома Ньютона найти коэффициент при .

5.2.30 Доказать, что число делится на 1000.

5.2.31 Доказать, что число делится на 10000.

5.2.32 Доказать, что число делится на 100.

5.2.33 Доказать, что число целое.

 

Многочлены

Разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x).

6.1.1 P(x)= , Q(x)=2x-1.

6.1.2 P(x)= , Q(x)=x+3.

6.1.3 P(x)= , Q(x)=x-3.

6.1.4 P(x)= , Q(x)=x-7.

6.1.5 P(x)= , Q(x)= .

6.1.6 P(x)= , Q(x)=x-5.

6.1.7 P(x)= , Q(x)= .

6.1.8 P(x)= , Q(x)= .

6.1.9 P(x)= , Q(x)=

6.1.10 P(x)= , Q(x)= .

Применяя схему Горнера, убедиться, что многочлен P(x) делится на многочлен Q(x).

6.1.11 P(x)= , Q(x)=2x+5.

6.1.12 P(x)= , Q(x)=x+2.

6.1.13 P(x)= , Q(x)=x+3.

6.1.14 P(x)= , Q(x)=3x-2.

6.1.15 P(x)= ,

Q(x)=(x-2)(x+1).

6.1.16 P(x)= ,

Q(x)=(x-1)(x+2).

Проверить делимость нацело многочлена P(x) на многочлен Q(x):

6.1.17 P(x)= , Q(x)=5x+3.

6.1.18 P(x)= , Q(x)=x-5.

6.1.19 P(x)= , Q(x)=x-2.

6.1.20 P(x)= , Q(x)=2x+5.

6.1.21 P(x)= ,Q(x)=x-3.

6.1.22 P(x)= ,

Q(x)=(x-4)(x+7).

Разделить уголком многочлен P(x) на многочлен Q(x):

6.1.23 P(x)= , Q(x)= .

6.1.24 P(x)= ,

Q(x)= .

6.1.25 P(x)= , Q(x)= .

6.1.26 P(x)= ,Q(x)= .

6.1.27 P(x)= ,Q(x)= .

6.1.28 P(x)= ,Q(x)= .

6.1.29 P(X)= , Q(x)= .

6.1.30 P(x)= ,

Q(x)= .

6.1.31 P(x)= ,

Q(x)= .

6.1.32 P(x)= ,Q(x)= .

6.1.33 P(x)= ,Q(x)= .

 

Разложить многочлен на множители:

6.2.1

6.2.2

6.2.3

6.2.4

6.2.5

6.2.6

6.2.7

6.2.8

6.2.9

6.2.10

6.2.11

6.2.12

6.2.13

6.2.14

6.2.15

6.2.16

6.2.17

6.2.18

6.2.19

6.2.20

6.2.21

6.2.22

6.2.23

6.2.24

Найти корни многочлена:

6.2.25

6.2.26

6.2.27

6.2.28

6.2.29

6.2.30

6.2.31

6.2.32

6.2.33

Модуль.

Решите уравнение:

Решите неравенство:

Найдите множество точек, координаты которых связаны уравнением:

7.3.1

7.3.2

7.3.3

7.3.4

7.3.5

7.3.6

7.3.7

Постройте график функции:

7.3.8

7.3.9

7.3.10

7.3.11

7.3.12

7.3.13

Найдите множество точек, координаты которых связаны уравнением:

7.3.14

7.3.15

7.3.16

7.3.17

7.3.18

7.3.19

7.3.20

Постройте график функции:

7.3.21

7.3.22

7.3.23

7.3.24

7.3.25

7.3.26

Найдите множество точек, координаты которых связаны уравнением:

7.3.27

7.3.28

7.3.29

7.3.30

7.3.31

7.3.32

7.3.33

 

ОДЗ. Найдите область определения:

8.1.1

8.1.2

8.1.3

8.1.4

8.1.5

8.1.6

8.1.7

8.1.8

8.1.9

8.1.10

8.1.11

8.1.12

8.1.13

8.1.14

8.1.15

8.1.16

8.1.17

8.1.18

8.1.19

8.1.20

8.1.21

8.1.22

8.1.23

8.1.24

8.1.25

8.1.26

8.1.27

8.1.28

8.1.29

8.1.30

8.1.31

8.1.32

8.1.33

 

Найдите ОДЗ функции f и 1/f:

8.2.1 f(x)=x²-x+1

8.2.2 f(x)= -2

8.2.3 f(x)=lg(1-x²)

8.2.4 f(x)=x+

8.2.5 f(x)= -

8.2.6 f(x)=5^x-2^x+1

8.2.7 f(x)=3-2cos x

8.2.8 f(x)= -2sin x

8.2.9 f(x)= 1-ctg x

Найдите ОДЗ функции f₁, f₂, f₁+f₂:

8.2.10 f₁(x)= , f₂(x)=

8.2.11 f₁(x)= , f₂(x)=

8.2.12 f₁(x)= - , f₂(x)=lg(x²-1)

8.2.13 f₁(x)= , f₂(x)=tg x

8.2.14 f₁(x)=lg(16-x²), f₂(x)=

8.2.15 f₁(x)=x+ , f₂(x)=x-

Найдите ОДЗ:

8.2.16 y=

8.2.17 y=

8.2.18 y=

8.2.19 y=

8.2.20 y=

8.2.21 y=

8.2.22 y=

8.2.23 y=

8.2.24 y=

8.2.25 y=

8.2.26 y=

8.2.27 y=

8.2.28 y=

8.2.29 y=

8.2.30 y=

8.2.31 y=

8.2.32 y