Кыргызский Национальный Университет им. Ж. Баласагына
Факультет информационных и инновационные технолгии
ФИиИТ
СРС
На тему: Формула полной вероятности и формула Байеса
Выполнила: Мукашева П.гр.Би
Проверила: Абдраимова М.А
Формула полной вероятности и формула Байеса
Пусть событие А при условии появления одного из несовместимых событий В1, В2, Вn, которые образуют полную группу. Пусть известно вероятности этих событий и условные вероятности.
P B1(A), P B2(A), …. P Bn(A) для события А.
Как найти вероятности этих событий? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема №1: Вероятность событий А, которое может наступить при условии появления из несовместных событий В1, В2,В3, …Вn образующую полную группу и их сумма равно произведению вероятностей каждого из этих событий в соответствующую условию вероятность событий А.
P(A) = P(B1) * PB1(A) + P(B2) * PB2(A) + …+ P(Bn) * PBn(A)
Это формула полной вероятности событий А.
Доказательство: По условию событие А может наступить одной из несовместных событий В1, В2,… Вn. Появление событий А из несовместных событий А1 В1, В2 А2,… Вn Аn используется для вычислений вероятность событий А теоремой сложения и получим следующее равенство:
P(A) = P(B1*A) + P(B2*A) + …+ P(Bn*A)
Остается вычислить каждое из слагаемых, тогда по теореме умножений вероятности зависимых событий имеем следующие формулы:
P(B1 *A) = PB1 * P(B1A);
P(B2 *A) = PB2* P(B2*A), P(B3*A) = PB3 P(B3*A)…;
P(Bn*A) = P Bn * P(Bn*A).
Поставим правые части этих равенств формулу:
Р(А) = P(B1 *A) + P(B2*A) +…+ P(Bn*A)
Получим формулу полной вероятности:
Р(А) = PВ1 PВ1 (A) + PВ2 PВ2 (A) +…+ PВn PВn (A)
Формула Байеса.
Из формулы полной вероятности событий А= 1. Тогда,аналогично вводится формула Байеса.
Пусть событие А может наступить при условии появления несовместных событий В1, В2,…Вn, которая образует полную группу событий А. Если событие А произошло, то вероятность событий может быть оценивать по формуле Байеса или вероятности событий.
PBi(A) = 
где PBi вероятность каждой из этих событий А;
где РВ условия вероятности событий А;
где Р(А) находятся полной вероятности.
Найдем сначала условную вероятность:
РА(В1), РА(В2) … РА(Вn).
По теореме умножения условная вероятность находим по формуле:
Р(АВ1) = Р(А) * РВ1(А)
Отсюда получаем:
Р(А) = 
;
Р(А) = 
;
…..;
Р(А) = 
.
Здесь заменив Р(А) с формулой:
Р(Вn А) = РВn Р(Вn A) (*)
Получим:
Р(А) = 
(**)
После формулы (**) аналогично выводится формулы определяющие условные вероятности остальных событий. т.е. условная вероятность любого события.
Например: Вi(i = 1,2,3…n)
После всех событий вычислена следующая формула:
Р(А) = 
Полученные формулы называют формулами Байеса. Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности событий после того, что,как становится известным результат испытаний и в результате появилось событие А, до испытания вероятности событий В или В1 равняется на испытание после результатов испытания вероятность этой событий или условным вероятностям.
Таким образом использование формулы Байеса позволяет переоценить вероятность рассматриваемых всех событий Bi.
Вероятность испытаний.
Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Если производится несколько испытаний причем вероятность событий А, в каждом испытании не зависят от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно событий А. В различных независимых испытаний А, может иметь различные вероятности либо одни и те же вероятности событий А. Такие независимые вероятности, в которых событие А имеет одни и те же вероятности. Используем понятие сложного события и поднимем совмещение нескольких событий понимается простые события.
Пусть производится N-независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появится либо не появится при условии будем считать, что вероятность событий А в каждом испытании одно и тоже и это событие равно на р следовательно вероятность событий А в каждом испытании равно на:
q= 1- p
Поставим теперь как вычислить вероятность N- испытаний событий А.
Через k обозначим события в нескольких испытаний событий В. Поставленную задачу, можно решить с помощью так называемой формулой Бернулли:
Pn(k)
Вывод формулы Бернулли.
Вероятность одного сложного события состоит в том, что N- испытаниях событий А наступит k- раз или не наступит N- k раз Тогда по теореме умножения вероятности независимых событий равна на:
Pk * qn-k
Так как сложные события несовместных испытаниях искомая вероятность равна сумме всех возможных сложных событий. Вероятность всех этих событий одинаковы то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события умноженной на их число и получается следующая формула (Формула Бернулли):
Pn(k) = 
* Pk *qn-k
