Задания для самостоятельного решения. 1.1. Укажите, какие предложения определяют высказывание

I уровень

1.1. Укажите, какие предложения определяют высказывание:

1) Пусть всегда будет солнце!

2) Минск – столица Болгарии.

3) Число 7 больше числа 5.

4) Ты идешь сегодня в школу.

5) Выражение принимает значения больше нуля или равно нулю.

1.2. Среди приведенных высказываний назовите простые и сложные:

1) Если сумма углов четырехугольника равна 360⁰, то четырехугольник является квадратом.

2) Квадрат является ромбом.

3) Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда сумма двух его сторон больше третьей стороны.

4) Если высота треугольника проведена к основанию и она является медианой, то треугольник – равнобедренный.

5) Число 15 делится нацело на 7.

6) Если в четырехугольнике стороны попарно параллельны или попарно равны, то такой четырехугольник является параллелограммом.

1.3. Даны высказывания:

А: Развернутый угол равен 180⁰.

В: Число 7 является четным.

С: Беларусь – европейская страна.

D: Минск – столица Беларуси.

Сформулируйте высказывания:

1.4. Определите тип теоремы:

1) Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда две его противоположные стороны параллельны и равны.

2) Если корни квадратного трехчлена , то .

3) Числа являются корнями квадратного трехчлена тогда и только тогда, когда

4) Если окружность вписана в четырехугольник, то суммы противоположных сторон равны.

5) Для того, чтобы окружность была вписана в четырехугольник, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны.

1.5. Для теоремы «Если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы» сформулируйте:

1) обратную;

2) противоположную;

3) противоположную к обратной;

4) необходимые и достаточные условия.

Определите значение И или Л сформулированных утверждений.

1.6. Докажите справедливость равенств для всех n Î N:

1) ;

2) ;

3) .

II уровень

Введите обозначения буквами всех простых высказываний, приведенных в примере 1.2. Запишите символически сложные высказывания с помощью операций над высказываниями. Определите их значение (И или Л).

Установите, равны ли по значению пары высказываний:

1) ; 2) ; 3) .

Приведите пример конкретных математических высказываний A, B, C, которые соответствовали бы содержательно высказываниям:

1) ; 2) .

Докажите, что сумма первых n чисел натурального ряда равна .

Докажите, что для всех n, n Î N верно равенство:

1) ;

2) ;

3) .

Докажите неравенство:

1) , если n Î N;

2) , если n Î N, n ³ 5.

III уровень

3.1. Докажите, что высказывания равны при всех возможных значениях высказываний A, B.

3.2. На вопрос, кто из трех студентов сдал экзамен на «отлично» был получен правдивый ответ: «когда сдал первый, то сдал и третий, но неправда, что если сдал второй, то сдал и третий». Определите, какой студент сдал экзамен на «отлично».

3.3. Выясните истинность высказывания:

1) , если В и С истины;