21.3. Математическая модель рынка <br> с прогнозируемыми ценами

1. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка двумя методами (методом вариации произвольной постоянной и методом Бернулли), а затем найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию:

а) , ; б) , ; в) , ; г) ; д)* , .

Тема 21. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 1. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют дифференциальное уравнение вида

, (21.1)

где , , – постоянные числа, , функция определена и непрерывна на некотором интервале , .

Определение 2. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют дифференциальное уравнение вида

. (21.2)

Определение 3. Если в дифференциальном уравнении (21.1) , то уравнение вида (21.2) называют линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка, соответствующим неоднородному линейному дифференциальному уравнению (21.1).

Замечание 1. Дифференциальные уравнения (21.1) и (21.2) удовлетворяют теореме о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка.

Замечание 2. Начальные условия для дифференциального уравнения второго порядка имеют вид , . Задача Коши дифференциального уравнения второго порядка формулируется следующим образом: найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , .

Свойства решений линейного однородного
дифференциального уравнения первого порядка

1. Функция всегда является решением линейного однородного дифференциального равнения второго порядка.

2. Если функции и являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то функции и также являются его решениями.

3. Если функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, а – любое число, отличное от нуля, то функция также является его решением.

21.1. Общее решение линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

Определение 4. Функции и , определенные на некотором интервале , называют линейно зависимыми на интервале , если существуют вещественные числа и , не все одновременно равные нулю, что для любого справедливо равенство .

Определение 5. Если для любого равенство выполняется только при , то функции и называют линейно независимыми на интервале .

Определение 6. Два частных решения и уравнения (21.2) называют фундаментальной системой решений, если они линейно независимы.

Теорема 1. Если функции и образуют фундаментальную систему решений уравнения (21.2), то его общее решение имеет вид , где и – вещественные произвольные постоянные.

Определение 7. Характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению (21.2), называют алгебраическое уравнение вида .

Алгоритм поиска общего решения
линейного однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами

1) Составить характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению.

2) Найти корни характеристического уравнения.

3) Выписать фундаментальную систему решений данного дифференциального уравнения в соответствии с правилом:

– если дискриминант характеристического уравнения , то характеристическое уравнение имеет два вещественных различных корня и . Тогда фундаментальная система исходного дифференциального уравнения имеет вид , ;

– если дискриминант характеристического уравнения , то характеристическое уравнение имеет один вещественный корень кратности 2: . Тогда фундаментальная система исходного дифференциального уравнения имеет вид , ;

– если дискриминант характеристического уравнения , то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и . Тогда фундаментальная система исходного дифференциального уравнения имеет вид , .

4) Записать общее решение уравнения (21.2) в виде , где и – вещественные произвольные постоянные. Записать ответ.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Его характеристическое уравнение имеет вид .

2) Так как , то уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня .

3) В соответствии с правилом фундаментальная система решений имеет вид , .

4) Общее решение: .

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

1) Его характеристическое уравнение имеет вид .

2) Так как , то уравнение имеет два различных вещественных корня , .

3) В соответствии с правилом фундаментальная система решений имеет вид , .

4) Общее решение: .

5) Найдем частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям , . Вычислим производную от общего решения: . Подставим в общее решение и его производную начальные условия , :

или

Получили систему линейных алгебраических уравнений для определения и . Решая ее, получаем , . Тогда искомое частное решение примет вид .

Пример 3. Найти решение задачи Коши , , .

1) Его характеристическое уравнение имеет вид .

2) Так как (или ), то уравнение имеет один вещественный корень кратности 2: .

3) В соответствии с правилом фундаментальная система решений имеет вид , .

4) Общее решение: .

или

21.2. Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

Теорема 2. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (21.1) можно представить в виде суммы общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (21.2) и некоторого частного решения неоднородного уравнения (21.1).

Замечание. Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка может быть применен общий метод вариации произвольных постоянных (см. [1, гл. 12, 12.8], [33, ч. 2, гл. 4, § 3], [35, гл. 4]). Но для достаточно большого числа случаев может быть использован метод подбора частного решения по виду правой части.

Теорема 3. Пусть дано дифференциальное уравнение . Если функция является частным решением уравнения , а функция – частным решением уравнения , то функция является частным решением .

Алгоритм поиска общего решения
линейного неоднородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами

1) Найти общее решение соответствующего однородного уравнения (21.2).

2) Подобрать частное решение неоднородного уравнения (21.1) в соответствии с правилом подбора частного решения по виду правой части.

Пусть , где – известный многочлен степени . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде , где – многочлен степени с пока неизвестными коэффициентами. Если является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде . Если является корнем характеристического уравнения кратности 2, то частное решение следует искать в виде . Подставляя в уравнение (21.2) и приравнивая коэффициенты, стоящие слева и справа при одинаковых степенях , найти коэффициенты многочлена .

Пусть или , где – многочлен степени . Если не являются комплексно-сопряженными корнями характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде , где и – различные многочлены степени с пока неизвестными коэффициентами. Подставляя в уравнение (21.2) и приравнивая коэффициенты, стоящие слева и справа сначала соответственно при синусах и косинусах, а затем при одинаковых степенях , найти коэффициенты многочленов и .

3) Записать общее решение неоднородного уравнения (21.1). Записать ответ.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Выпишем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение: . Его характеристическое уравнение имеет вид , его корни , . В соответствии с правилом фундаментальная система решений состоит из функций , . Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: .

2) Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой многочлен второй степени и может быть представлена следующим образом: . Так как является простым корнем характеристического уравнения, то в соответствии с правилом подбора решения по виду правой части частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде произведения многочлена второй степени с пока неизвестными коэффициентами на переменную , то есть в виде , где , и – некоторые неопределенные вещественные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные от частного решения , получим , . Подставим частное решение и его производные в линейное неоднородное дифференциальное уравнение , тогда

или .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов , и :

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

3) Таким образом, по теореме 2 общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения: .

Пример 5. Найти решение задачи Коши линейного дифференциального уравнения , , .

2) Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой произведение многочлена первой степени на функцию : . Так как не является корнем характеристического уравнения, то в соответствии с правилом подбора решения по виду правой части частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде произведения многочлена первой степени с пока неизвестными коэффициентами на функцию , то есть в виде , где и – некоторые неопределенные вещественные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные от частного решения , получим

Подставим частное решение и его производные в линейное неоднородное дифференциальное уравнение , получим равенство

которое после сокращения на и приведения подобных слагаемых примет вид

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов и :

Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

3) Таким образом, по теореме 2 общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Найдем решение задачи Коши. Для этого найдем производную от общего решения: , а затем подставим начальные условия , в общее решение и его производную:

или

21.3. Математическая модель рынка
с прогнозируемыми ценами

В теме 10 была рассмотрена простейшая модель рыночного равновесия , когда функции спроса и предложения зависят только от текущей цены на товар. В реальных ситуациях спрос и предложение зависят также от тенденции ценообразования и темпа изменения цены. В моделях с непрерывной и дифференцируемой зависимостью цены от времени эти характеристики описываются, соответственно, первой и второй производными функции ( – время). В этом случае функции спроса и предложения могут иметь вид , , где и () – вещественные числа. Записывая условие рыночного равновесия , получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно равновесной цены

. (21.3)

Равновесную цену , определяемую дифференциальным уравнением (21.3), называют неустановившейся, так как значение меняется с течением времени . Соответствующую модель рынка называют нестационарной или динамической. Если же значение цены не зависит от времени , то равновесную цену называют установившейся. Установившаяся равновесная цена в динамической модели рынка определяется условием .

Замечание. Простейшая паутинная модель рыночного равновесия, рассмотренная в теме 10 (см. п. 10.5.1), является стационарной или статической моделью относительно установившейся равновесной цены.

По поведению неустановившейся равновесной цены по отношению к установившейся равновесной цене можно судить о состоянии рынка: стабильном или неустойчивом. Для этого достаточно вычислить . Если окажется, что существует и равен нулю или не существует, но – периодическая функция, то состояния рынка стабильное. В этом случае неустановившаяся равновесная цена с течением времени достигнет установившейся равновесной цены . Если окажется, что бесконечен или не существует и не является периодической функцией, то дифференциальное уравнение (21.3) описывает состояние паники на рынке. В этом случае равновесная цена с течением времени будет только удаляться от установившейся равновесной цены .

Пример 6. Функции спроса и предложения имеют вид , . Найти неустановившуюся и установившуюся равновесные цены; выяснить, является ли стабильным состояние рынка.

Решение. 1) Найдем неустановившуюся равновесную цену. Из уравнения рыночного равновесия получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение, позволяющее найти неустановившуюся рыночную цену:

или .

Выпишем соответствующее ему линейное однородное дифференциальное уравнение и характеристическое уравнение . Найдем корни характеристического уравнения: , . Так как они вещественны и различны, то фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения состоит из функций , , а его общее решение имеет вид . Правая часть исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть представлена следующим образом: . Так как не является корнем характеристического уравнения , то частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде , где – некоторое, пока неизвестное, число. Вычислим , подставим и его производные в дифференциальное уравнение , получим или . Таким образом, . В силу теоремы 2 запишем общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , которое представляет собой неустановившуюся рыночную цену.

2) Найдем установившуюся рыночную цену. Для этого подставим в дифференциальное уравнение , получим, что или – установившаяся рыночная цена.

3) Оценим состояние рынка. Для этого вычислим . Получим

Следовательно, состояние рынка стабильное.

Замечание. Процесс приближения неустановившейся равновесной цены к установившейся показан на рис. 21.1. При построении функции предполагалось, что в момент времени даны начальное значение неустановившейся равновесной цены денежных единиц и начальное значение ее первой производной (скорость цены) денежных единиц в единицу времени. Соответствующее частное решение имеет вид .

Теоретический материал: [1, гл. 12], [2, гл. 9], [3, гл. 9], [5], [8], [10], [12, гл. 19, 20], [17], [19], [21], [27], [33, ч. 2, гл. 4], [35, гл. 4].

21.3. Математическая модель рынка с прогнозируемыми ценами

Поиск по сайту

21.3. Математическая модель рынка
с прогнозируемыми ценами