Алгоритм применения формулы трапеций

1. Разбить отрезок [a,b] на n частичных отрезков (построить на отрезке [a,b] сетку с шагом h=(b-a)/n) x₀=a, x_i= x₀+i*h, i =1,2….n, x_n=b).

2. Вычислить значения функции f(x) в узлах сетки f_i= f(x_i).

3. Вычислить площади частичных трапеций по формуле трапеций

 

4. Найти приближенное значение интеграла по формуле

5.

Разбить отрезок [a,b] на 2n частичных отрезков (построить на отрезке [a,b] сетку с шагом h/2 x₀=a, x_i= x₀+i*h, i =1,2….n, x_n=b). Найти приближенное значение интеграла с новым шагом I_h/2.

6. Произвести оценку погрешности по формуле Рунге (p - порядок точности квадратурной формулы, для формулы трапеций p=2)

7. Продолжать уменьшать шаг, пока погрешность не станет меньше требуемой точности r_i<e.

8. Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

 

Пример реализации алгоритма в Excel

 

 

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V
	Вычисление определенного интеграла по формуле трапеций (подинтегральная функция f(x)=1/x)
	Границы интегрирования
	A			n		количество частичных отрезков
	B			h	0,1	шаг сетки
	i
	Xi		1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
	Fi	1,00	0,91	0,83	0,77	0,71	0,67	0,63	0,59	0,56	0,53	0,50
	Si	0,10	0,09	0,08	0,07	0,07	0,06	0,06	0,06	0,05	0,05
	S h	0,69377140	Приближенное значение интеграла
	i	0,69314718	Точное значение интеграла
	Границы интегрирования
	A			n		количество частичных отрезков
	B			h	0,05	шаг сетки
	i
	Xi		1,05	1,1	1,15	1,2	1,25	1,3	1,35	1,4	1,45	1,5	1,55	1,6	1,65	1,7	1,75	1,8	1,85	1,9	1,95
	Fi	1,00	0,95	0,91	0,87	0,83	0,80	0,77	0,74	0,71	0,69	0,67	0,65	0,63	0,61	0,59	0,57	0,56	0,54	0,53	0,51	0,50
	si	0,05	0,05	0,04	0,04	0,04	0,04	0,04	0,04	0,04	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03
	S h/2	0,693303380		приближенное значение интеграла
	I	0,693147181		точное значение интеграла
	r	0,000156	погрешность

 

 

 

Алгорим применения формулы Симпсона

1. Разбить отрезок [a,b] на n частичных отрезков (построить на отрезке [a,b] сетку с шагом h=(b-a)/n) x₀=a, x_i= x₀+i*h, i =1,2….n, x_n=b).

2. Посчитать координаты средних точек частичных отрезков x_i-1/2= (x_i-1+ x_i)/2,

3. Вычислить значения функции f(x) в узлах сетки f_i= f(x_i).

4. Вычислить значения функции f(x) в средних точках f_i-1/2= f(x_i-1/2).

5. Вычислить площади частичных криволинейных трапеций по формуле Симпсона

 

6. Найти приближенное значение интеграла по формуле

7.

Разбить отрезок [a,b] на 2n частичных отрезков (построить на отрезке [a,b] сетку с шагом h/2 x₀=a, x_i= x₀+i*h, i =1,2….n, x_n=b). Найти приближенное значение интеграла с новым шагом I_h/2.

8. Произвести оценку погрешности по формуле Рунге (p - порядок точности квадратурной формулы, для формулы Симпсона p=4)

9. Продолжать уменьшать шаг, пока погрешность не станет меньше требуемой точности r_i<e.

10. Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

 

Пример реализации алгоритма в Excel

 

 

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V
	Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона (подинтегральная функция f(x)=1/x)
	Границы интегрирования
	A			n		количество частичных отрезков
	B			h	0,1	шаг сетки
	iI
	Xi		1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
	Xi-1/2	1,05	1,15	1,25	1,35	1,45	1,55	1,65	1,75	1,85	1,95
	Fi	1,00	0,91	0,83	0,77	0,71	0,67	0,63	0,59	0,56	0,53	0,50
	Fi-1/2	0,95	0,87	0,80	0,74	0,69	0,65	0,61	0,57	0,54	0,51
	si	0,10	0,09	0,08	0,07	0,07	0,06	0,06	0,06	0,05	0,05
	S h	0,69314737	Приближенное значение интеграла
	I	0,69314718	Точное значение интеграла
	Границы интегрирования
	A			n		количество частичных отрезков
	B			h	0,05	шаг сетки
	II
	Xi		1,05	1,1	1,15	1,2	1,25	1,3	1,35	1,4	1,45	1,5	1,55	1,6	1,65	1,7	1,75	1,8	1,85	1,9	1,95
	Xi-1/2	1,03	1,08	1,13	1,18	1,23	1,28	1,33	1,38	1,43	1,48	1,53	1,58	1,63	1,68	1,73	1,78	1,83	1,88	1,93	1,98
	Fi	1,00	0,95	0,91	0,87	0,83	0,80	0,77	0,74	0,71	0,69	0,67	0,65	0,63	0,61	0,59	0,57	0,56	0,54	0,53	0,51	0,50
	Fi-1/2	0,98	0,93	0,89	0,85	0,82	0,78	0,75	0,73	0,70	0,68	0,66	0,63	0,62	0,60	0,58	0,56	0,55	0,53	0,52	0,51
	si	0,05	0,05	0,04	0,04	0,04	0,04	0,04	0,04	0,04	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03	0,03
	S h/2	0,693147193		приближенное значение интеграла
	I	0,693147181		точное значение интеграла
	r	-1,21278E-08	погрешность