Лабораторная работа 7
Выделение слабо эффективных и эффективных решений
Методом сверток на основе идеальной точки
Цели работы:
1. Знакомство с методом выделения слабо эффективных и эффективных решений задачи многокритериальной оптимизации методом сверток на основе идеальной точки.
2. Приобретение навыков использования стандартных средств системы Matlab для выделения слабо эффективных и эффективных решений задачи многокритериальной оптимизации и аппроксимации множества эффективных точек.
Продолжительность работы: 2 часа
Оборудование, приборы, инструментарий – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MatLab.
Порядок выполнения
1. Упражнения выполняются параллельно с изучением соответствующих разделов теории.
2. После выполнения каждого упражнения результаты следует заносить в отчёт.
3. Дома доделать упражнения из раздела «Краткие теоретические сведения и практические упражнения», которые Вы не успели выполнить на занятии.
4. Подготовить отчет, в который включить решение всех упражнений. Отчет должен удовлетворять следующим общим требованиям:
а) отчет должен быть представлен в виде документа Microsoft Word, имя файла (пример): p_51m_Oleynik_T_07_1 (факультет_ группа_ Фамилия студента (латиницей)_ Инициал (латиницей)_номер лабораторной, семестр).
б) отчет должен содержать комментарии к каждому выполненному упражнению, в том числе: № упражнения; его условие; математическую модель задачи; команды, скопированные из командного окна; результаты их выполнения; тексты скриптов и М-функций; выводы.
Краткие теоретические сведения
И практические упражнения
Получение эффективных решений методом сверток на основе идеальной точки.
Рассмотрим задачу двухкритериальной оптимизации:
 ,  ,
| (1) |
|
Нам бы хотелось найти такую точку 
на множестве 
, в которой функции 
, 
одновременно принимали бы наибольшее значение. Однако мы уже имели возможность убедиться, что в большинстве случаев эта задача неразрешима. В то же время ничто не мешает нам рассмотреть максимальные значения частных критериев независимо друг от друга.
Назовем идеальной точкой такой вектор 
, компоненты которого 
, 
являются максимумами частных критериев 
и 
на 
, т.е. 
, 
Рассмотрим задачу поиска допустимого решения 
, образ которого 
наиболее близок в смысле какого-либо расстояния к идеальной точке:
 ,
| (2) |
 , где  - некоторая метрика в  .
|
Функцию 
называют сверткой на основе идеальной точки.
При построении свертки на основе идеальной точки для измерения расстояния в критериальном пространстве используется одна из следующих метрик:
а) метрика Архимеда 
или ее взвешенный вариант 
, 
;
б) метрика Евклида 
или ее взвешенный вариант 
, ;
в) метрика Чебышева 
или ее взвешенный вариант 
, .
Соответствующие эти метрикам свертки будем называть архимедовой, евклидовой и чебышевской сверткой.
Можно показать, что решение задачи (2) при любой из рассмотренных взвешенных метрик является слабо эффективным решением, а при единственности этого решения – эффективным решением.
В то же время, не всякая точка множества 
(или 
) может быть найдена на основе максимизации взвешенных сверток 
при конечных весах 
.