ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
| Множество действительных чисел | R | Q, 
| Действительные числа – это бесконечные десятичные дроби (рациональные и иррациональные числа). Рациональные числа – бесконечные периодические дроби. Период не может состоят из одних девяток. Если период состоит из одних нулей, дробь может считаться конечной десятичной дробью. Иррациональные числа – бесконечные непериодические десятичные дроби. |
Вопросы
1. Какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами: 23,5; 2,(5); 3,12131415...; -0,1010010001...?
2. На числовой прямой постройте точки с координатами 6, -1,5, √2, -√2.
3. Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным? Приведите пример.
Как видно из таб., предложенной в лекции, рациональные числа можно представить в виде обыкновенной дроби p/q. Некоторые из них можно записать в виде конечной десятичной дроби. Например, 2/5 = 0,4; 7/100 = 0,07 и т.д. Но существуют рациональные числа, которых нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Например, 1/3 = 0,333…,17/9 = 1,888….
Такие бесконечные десятичные дроби называются периодическими. Повторяющиеся числа называются периодом. Для краткости их записывают следующим образом: 0,333...= 0,(3); 1,888... = 1,(8).
Пример 1
Записать числа в виде десятичной дроби.
1. 11/3.
2. 215/99.
3. 594/11.
Решение:
1. Разделим уголком число 11 на 3. Получаем бесконечную десятичную дробь с периодом 3.
11/3 = 3,666... = 3,(6).
2. При делении числа 2215 на 99 получаем бесконечную десятичную дробь с периодом 17.
215/99 = 2,1717... = 2,(17).
3. При делений числа 594 на 11 получаем целое число 54. Каждое целое число или конечная десятичная дробь можно записать в виде бесконечной десятичной дроби с периодом нуль.
594/11 = 54 = 54,(0).
Пример 2
Представить в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь. 0,1515
Решение:
Обозначим х = 0,1515...
Т.к. период дроби двухзначное число, то умножим обе части равенства на 100.
Получим, 100х = 15,1515....
Найдём разность выражений:
100х-х = 15,1515...-0,1515...;
99х = 15.
Решая уравнение, получим x = 15/99.
Как видно из таблицы, иррациональные числа – бесконечные десятичные непериодические дроби. Например, √2; 
и т. д.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Для выполнения алгебраических операций над действительными числами, эти числа заменяем на их приближения. Например, для нахождения суммы √10 и √5 с помощью калькулятора находим значения данных корней, затем округляем до нужной степени, а затем полученные рациональные числа складываем.
√10+√5 = 3,1622776...+2,2360679... ≈ 3,2+2,2 = 5,4 ≈ 5.
Вопросы для самоконтроля
1. Представьте число 7/18 в виде бесконечной десятичной дроби. (Ответ: 0,3(8))
2. Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 1,1(6). (Ответ: 7/6)
3. Выполните действия и запишите ответ в виде десятичной дроби: 1/3+1,25. (Ответ: 1,58(3))
Погрешности приближений.
В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины. Результатом измерений являются числа. Т.к. измерения производятся не всегда точно, то мы обычно получаем различные приближения. При этом необходимо знать погрешность этого приближения.
Определение. Если число a является приближенным значение некоторой величины, истинное значение которой равно числу x, то модуль разности чисел x и a называется абсолютной погрешностью данного приближения и обозначается ∆х.
∆х = |x-a|.
Из этого определения следует, что
x = a±∆x.
Т.к. в большинстве случаев истинное значение искомой величины неизвестно, то нельзя найти и абсолютную погрешность. Можно лишь указать в каждом конкретном случае положительное число, больше которого не может быть эта абсолютная погрешность. Это число называется границей абсолютной погрешности и обозначается h.
∆х = |x-a| ≤ h.
a-h ≤ x ≤ a+h.
Абсолютная погрешность приближения не характеризует качество измерений. Например, при измерении длины и диаметра проводника получили результаты: l = 10,0±0,1мм, D = 2,5±0,1мм. Какое из этих измерений точнее?
Для оценки качества измерений или вычислений будем пользоваться понятием относительной погрешности.
Определение. Относительной погрешностью ω приближенного значения a величины х называется отношение абсолютной погрешности ∆x этого приближения к модулю числа х.
ω = ∆x/|x|.
Т.к. в большинстве случаев истинное значение х неизвестно, то на практике относительную погрешность оценивают некоторым числом ε, большим этой погрешности. В качестве ε можно взять отношение h/|a| или любое число, большее этого отношения, но достаточно близкое к нему.