Тема 2 Элементы алгебры логики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

Учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный аэрокосмический университет

Имени академика М. Ф. Решетнева»

(СибГАУ)

Кафедра технической эксплуатации летательных аппаратов и двигателей

Методическое пособие к практическим работам

По дисциплине

"Математические основы теории систем"

для направления подготовки 162300.62 «Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей»

Красноярск 2015

ББК –

УДК 629.7.

Рецензент

Начальник Красноярского межрегионального территориального управления ВТ МТ РФ С.В. Родькин

Печатается по решению методической комиссии факультета гражданской авиации и таможенного дела

Методические указания по проведению практических работ по дисциплине «Математические основы теории систем» для направления подготовки 162300.62 «Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей». Составители: Бойко О.Г., Фурманова Е.А., Пигин А. С. – Красноярск, СибГАУ, 2015, - 52с.

В методических указаниях приведены ссылки на теоретические сведения по основным разделам изучаемого курса, задания, варианты заданий и контрольные вопросы по дисциплине «Математические основы теории систем»

©Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, 2014

Содержание

Тема 1 Элементы теории множеств……………………….. …………..…..4

1.1 Задание…………………………………………………………………..4

1.2 Варианты заданий...……………………….……………………..……..4

1.3 Контрольные вопросы………………………………………………….10

Тема 2 Элементы алгебры логики…………………………….…………..11

2.1 Варианты заданий………………………………………………….…..11

2.2 Контрольные вопросы………………………………………………....14

Тема 3 Метод пространства состояний …………………………..………15

3.1 Получение векторно-матричной стандартной формы Коши……......15

3.1.1 Одномерные системы…………………………………………...…....15

3.1.1.1 Задание………………………………………………………….…..15

3.1.1.2 Варианты заданий…………………………………………….…...16

3.1.2 Многомерные системы…………………………………………….....32

3.1.2.1 Задание………………………………………………………….…..32

3.1.2.2 Варианты заданий………………………………………………….32

3.2 Оценка управляемости и наблюдаемости методом пространства состояний…………………………..……………………………............................39

3.2.1 Задание ……………………………………………………….……..39

3.2.2 Варианты заданий……………………………………………………..39

3.3 Канонические формы в пространстве состояний………………..…...40

3.3.1 Задание………………………………………………………………40

3.4 Контрольные вопросы……………………………….……………….41

Тема 4 Структурные схемы надежности………………………………….42

4.1 Задание……………………………….………………………………..42

4.2 Варианты заданий ……………………………………………………..43

4.3 Контрольные вопросы….………………………………………….......51

Библиографический список ……………………………………………....52

Тема 1 Элементы теории множеств

Цель изучения темы: ознакомить учащихся с элементами теории множеств, освоить основные операции над множествами, изучить диаграммы Эйлера – Венна.

С элементами теории множеств, операциями над множествами, диаграммами Эйлера – Венна ознакомиться в лекционном курсе или в [ 1, 2 ]

Задание

1 Ознакомиться с теорией.

2 Получить вариант задания у преподавателя.

3 Составить отчет о выполненной работе.

Варианты заданий

Таблица 1.1 – Варианты заданий

№ варианта
№ задания	2, 8а	3а, 15в	4а, 10б	7, 15н	5б, 17а	11а, 20б	10а, 19	9д, 20в	9б, 17в	8б, 20а
№варианта
№ задания	5а, 15л	1а, 21б	1в, 15д	3б, 9а	5в, 18а	12б, 20г	10в, 20д	9г, 15о	12а, 14	8в, 15к
№варианта
№ задания	6, 15з	1б, 15а	3в,	4б, 21а	11б, 15б	11в, 15п	11г, 18б	9е, 17б	13а, 18в	9в, 15е

1 Равны ли множества А и В, если

а А = {1, 2, 3} и В = {{1, 2}, {2, 3}}; А = {2, 3} и В = {{2}, {3}};

б А = {4, 5, 6} и В = {{3, 4}, {4, 5}}; А = {4, 5} и В = {{4}, {5}};

в А = {7, 8, 9} и В = {{5, 6}, {6, 7}}; А = {6, 7} и В = {{6}, {7}};

2 Задать различными способами множество А всех четных чисел 2, 4, 6,

…., не превышающих 1000.

3 Верно ли, что:

а {{1,2}, {2,3}}={1,2,3}; 2).{{1,2}}={1,2}

б{{4,5}, {2,3}}={1,2,4}; 2).{{3,5}}={1,3}

в{{1,2}, {4,6}}={1,3,5}; 2).{{1,3}}={2,4}

4 Перечислить элементы следующих множеств:

а А ={ a|a Í B, B ={1,2,3}}

б A ={ a | a Î B, B ={1,2,3}}

5 Заданы множества:

а U = {1, 2, 4, 5}; X = {2, 5}; Y = {1, 2, 4}; Z = {2, 5}.

Найти: X Y; (X Z) Y; X (Y Z); (X Y) (X Z);

(X Y); X Y; (X Y) Z; X \ Z; (X \ Z) \ (Y \ Z)

б U = {3, 6, 7, 9}; X = {4, 5}; Y = {3, 4, 7}; Z = {4, 5}.

Найти: X Y; (X Z) Y; X (Y Z); (X Y) (X Z);

(X Y); X Y; (X Y) Z; X \ Z; (X \ Z) \ (Y \ Z)

в U = {3, 4, 5, 8}; X = {3, 5}; Y = {6, 7, 9}; Z = {7, 8}.

Найти: X Y; (X Z) Y; X (Y Z); (X Y) (X Z);

(X Y); X Y; (X Y) Z; X \ Z; (X \ Z) \ (Y \ Z)

6 Существуют ли такие множества А, В и С, что А В ≠ Ø, А С = Ø,

(А В) \ С = Ø?

7 Пусть А – произвольное множество. Что представляют собой следующие множества:

8 Доказать следующие тождества:

а (A B) (A B) = (A B) (A B) = A

б(A B) A = A B

в(A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C)

9 Проверить, что X × Y ≠ Y × X, если

а X = {3, 4, 5} и Y = {0, 1}

б X = {1, 3, 6} и Y = {1, 2}

в X = {2, 3, 5} и Y = {2, 3}

г X = {3, 5, 6} и Y = {3, 4}

д X = {4, 5, 7} и Y = {2, 4}

е X = {3, 6, 9} и Y = {4, 7}

10 Даны произвольные множества А, В, С такие, что:

а и Чему равно

б и Чему равно

в и

Чему равно

11 Записать в явном виде отношение R ={(x, y) / x, y A, x – делитель y }

а x ≤ 3, где А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

б x ≥ 5, где А = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15}

в x ≤ 7, где А = {2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13}

г x ≥ 8, где А = {8, 9, 10, 14, 16, 18, 24, 26}

12 Записать область определения D ® и область значений E ®, если

отношение R = {(x, y) / x, y A, x – делитель y }

а x ≤ 3, где А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

б x ≥ 5, где А = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15}

в x ≤ 7, где А = {2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13}

г x ≥ 8, где А = {8, 9, 10, 14, 16, 18, 24, 26}

13 Проверить, является ли отношение ρ = {(a, b): a, b ∈ А и a + b – четное},

агде А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} является рефлексивным, симметричным, транзитивным и антисимметричным.

Бгде А = {1, 4, 5, 7, 8, 10} является рефлексивным, симметричным, транзитивным и антисимметричным.

Вгде А = {1, 3, 4, 6, 7, 9} является рефлексивным, симметричным, транзитивным и антисимметричным.

14 На множестве А = {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} определены следующие отношения: ρ = {(a, b): a < b }; σ = {(a, b): b – 1 < a < b + 2};

τ = {(a, b): a 2 ≤ b }.

Записать в явном виде множества ρ(0), σ(0), τ(0), ρ(1), σ(–1), τ(–1).

15 Упростить выражения:

п .

16 Проверить, правильно ли заданы следующие операции:

x y = x – y на N; x y = x y −1 на Z; x y = max(x, y) на N.

Если правильно, то проверить свойства (коммутативность и ассоциативность) и найти (если это возможно) единичный и обратный элементы.

17 Для произвольных множеств А, В, С, D I построить диаграммы Эйлера-Венна при условии:

г .

18С помощью диаграмм Эйлера-Венна установить справедливость каждого из следующих утверждений относительно произвольных множеств А, В, С I:

б если и , то

в если и то

19 Показать с помощью диаграмм Эйлера-Венна, какое из двух множеств и является подмножеством другого.

20 Пусть даны множества А, В и С; С Í В; Доказать, что:

г ;

21 Доказать, что:

а если то

1.3 Контрольные вопросы

1 Что называется множеством?

2 Какое множество называется конечным или бесконечным?

3 Какое отличие между понятиями принадлежит () и включается ()?

4 Что такое прямое произведение множеств? Какими свойствами обладает прямое произведение?

5 Что называется отношением на множестве? Какими свойствами обладают отношения на множествах?

6 Что называется разбиением множества? Приведите примеры.

7 Что называется отношением эквивалентности и отношением частичного порядка? Приведите примеры.

8 Что называется алгебраической операцией на множестве?

9 Какими свойствами обладает алгебраическая операция?

10 Что называется единичным и обратным элементом?

Тема 2 Элементы алгебры логики

Цель изучения темы: ознакомить учащихся с понятиями логических функций, их определением и законами. Дать основные понятия Булевой алгебры.

С понятиями логических функций, их определением и законами, понятиями Булевой алгебры ознакомиться в лекционном курсе или в [ 1, 3 ]

Задание

1 Ознакомиться с теорией.

2 Получить вариант задания у преподавателя.

3 Составить отчет о выполненной работе.

Варианты заданий

Таблица 2.1 – Варианты заданий

№ варианта
№ задания	1г, 5а	1з,4а	1а,2д	1д, 3а	1ж,2в	1в,3б	1з,5б	1б,2г	1б,3а	1з,3д
№варианта
№ задания	1е, 5б	1б,3д	1в,3в	1ж, 4б	1д,3г	1а,2а	1е,4а	1г,4б	1е, 3в	1б, 2б

1 Найти совершенно дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ), совершенно конъюнктивную нормальную форму (СКНФ); (в задании даны логические формулы двух переменных)