Методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. Матричные уравнения

Методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными

Что необходимо знать для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными?

Для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными необходимо знать:

- основные действия над матрицами;
- методы нахождения определителя матрицы;
- метод нахождения обратной матрицы;
- методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Как отличить линейное уравнение от нелинейного?

В линейном уравнении, в отличие от нелинейного, все переменные находятся в первой степени, и график зависимости переменных представляет собой прямую линию.

Методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. Метод Крамера

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

, где:

- x₁, x₂, …, x_n – неизвестные;
- a_ij (где ; ) – коэффициенты при неизвестных, константы, ϵ R;
- b₁, b₂, …, b_n – свободные члены, ϵ R.

Из данных, имеющихся в системе уравнений, мы можем составить две матрицы:

1) – матрица системы (уравнений). В эту матрицу вошли константы, находящиеся перед неизвестными в системе уравнений;
2) – эта матрица представляет собой столбец свободных членов из правой части системы уравнений.

Теперь самое время перейти непосредственно к теореме (правилу) Крамера: если определитель матрицы системы (матрицы A) отличен от нуля, то система имеет решение и притом только одно. Данное решение определяется следующей формулой:

, где:

- Δ – определитель матрицы системы ();
- Δ_k – определитель матрицы, полученный из матрицы системы заменой k-го столбца столбцом свободных членов (единственным столбцом матрицы B);
- x_k – решение системы при данном Δ_k (где ).

Так, , , .

Следует отметить два важных обстоятельства:

1) если определитель матрицы системы равен нулю (), а среди определителей Δ_k есть отличные от нуля, тогда система не имеет решений;
2) если (где ), а среди миноров (n-1)-го порядка определителя Δ есть отличные от нуля, тогда система сводится к (n-1) уравнению и имеет множество решений.

В качестве примера рассмотрим следующую систему уравнений:

Для того чтобы решить данную систему уравнений, необходимо сначала сделать некоторые преобразования. На первом этапе преобразований перенесём все неизвестные в левую часть системы уравнений, а свободные члены – в правую:

На втором этапе преобразований поменяем местами неизвестные так, чтобы они стояли в порядке возрастания их индексов:

Теперь, когда все элементы системы уравнений находятся на своих местах, можно приступить к её решению. Записываем матрицу системы и матрицу свободных членов:

1) ;

2) .

Далее находим определитель матрицы системы:

, следовательно, можем сделать вывод, что система имеет решение. Теперь найдём определители Δ_k (где ):

;

Мы нашли всё, что необходимо для получения решений системы. Остаётся лишь подставить полученные значения определителей в уравнение и найти значения неизвестных:

;

Ответ: , , .

Методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. Матричные уравнения

Матричные уравнения – это уравнения следующих видов: и .

Рассмотрим сначала уравнение вида . Здесь A, X и B – матрицы, удовлетворяющие следующим условиям:

1) A – квадратная невырожденная матрица размерности . Невырожденная – значит такая, что для неё существует обратная матрица ();
2) X – прямоугольная матрица размерности . Размерность матрицы X должна быть такой (), чтобы на неё можно было умножить матрицу A ();
3) B – прямоугольная матрица размерности . Размерность матрицы B () получается в результате умножения матрицы A () на матрицу X () и не может быть другой.

Пусть A и B – известные матрицы, X – неизвестная матрица. Чтобы получить матрицу X из уравнения , необходимо помножить обе части уравнения на A^-1 (обратную матрицу для матрицы A). Причём сделать это нужно слева, так как с левой стороны матрица A «свободна» от произведения:

Произведение даёт нам единичную матрицу E, поэтому можем записать:

Так как умножение данной матрицы на единичную и наоборот (единичной на данную) представляет собой саму данную матрицу, то , и тогда:

В случае матричного уравнения (где A – квадратная невырожденная матрица размерности ; X – прямоугольная матрица размерности ; B – прямоугольная матрица размерности ) помножать обе части уравнения на A^-1 следует справа (справа матрица A «свободна»):

Далее вспоминаем, что , а :

и, наконец, .

Теперь рассмотрим применение матричных уравнений для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. Возьмём уже знакомую нам систему уравнений из первого примера:

Преобразуем её к удобному для решения виду:

Далее запишем матрицу системы (A), матрицу свободных членов (B) и матрицу неизвестных (X):

1) ;

2) ;

3) .

Матричное уравнение будет выглядеть следующим образом:

Получим X в явном виде:

Теперь найдём обратную матрицу для матрицы A:

Так как определитель матрицы A отличен от нуля (), то матрица A – невырожденная, и A^-1 существует. Для того чтобы найти A^-1, необходимо получить алгебраические дополнения A_ij. Для этого воспользуемся формулой , где M_ij – минор (определитель, полученный из матрицы A одновременным вычёркиванием i-ой строки и j-го столбца):