Арифметические основы работы ЭВМ

Двоичная система счисления получила широкое распространение с появлением ЭВМ. Любое число в этой системе представляется сочетанием нулей и единиц. Это позволяет достаточно просто организовать хранение и переработку информации, представленной в двоичном виде. Другим важным достоинством двоичной системы счисления является простота вычислений. Выполнение арифметических действий над числами в двоичной системе счисления производится по тем же правилам, что и в десятичной. При этом пользуются соответствующими таблицами. Рассмотрим только две арифметические операции: сложение и умножение, так как вычитание и деление по существу сводятся к сложению.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами можно свести в таблицу:

В устройствах, реализующих операцию арифметического сложения двоичных чисел, операнды представляют числами определенной разрядности (одинаковой для обоих операндов). При этом неиспользуемые разряды заполняются нулями. Это касается как целой, так и дробной частей числа.

Надо заметить, что в реальных ЭВМ чаще всего используются 16-, 32- и 64-разрядные числа. Однако для учебных целей при рассмотрении методов выполнения арифметических операций не будем обращать внимание на разрядность операндов (т. е. будем использовать разрядность, отличающуюся от разрядности реальных ЭВМ).

В двоичной системе счисления арифметическое сложение происходит по правилу сложения по модулю два с учетом переноса единицы в старший разряд.

Пример 13. Выполнить операцию арифметического сложения двоичных чисел 110111,01₂ и 10011,1₂.

Решение:

55,25 0110111,01

+19,500010011,10

74,75 1001010,11

Результаты сложения изображены выше. В качестве проверки воспользуемся десятичными числами, соответствующими исходным двоичным. При сложении дробей перенос осуществляется и из дробной части числа в целую.

Умножение двоичных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. Каждое частичное произведение равно 0, если в соответствующем разряде множителя стоит 0, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов влево, если в разряде множителя стоит 1.

Пример 14. Перемножить двоичные числа 111,1₂ и 101₂.

Решение:

111,1

_ 101_

7,5 0000

___ 5___ 1111___

37,5 100101,1

Как и в предыдущем случае, в качестве проверки используем десятичные числа, соответствующие исходным двоичным.

В рассмотренном примере второй разряд множителя равен 0, поэтому второе частичное произведение также равно 0.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Кроме арифметических, ЭВМ выполняют и логические операции, в основе которых положены понятия алгебры логики или, как ее часто называют, булевой алгебры. Основоположником этого раздела математики был Дж. Буль.

Булева алгебра оперирует с логическими переменными, которые могут принимать только два значения: истина или ложь, обозначаемые соответственно 1 и 0.

Как ранее отмечалось, основной системой счисления ЭВМ является двоичная система счисления, в которой также используются только две цифры: 1 и 0. Таким образом, одни и те же цифровые устройства ЭВМ могут применяться для обработки как числовой информации в двоичной системе счисления, так и логических переменных. Это обуславливает универсальность схемной реализации процесса обработки информации в ЭВМ.

Широкое распространение имеют следующие логические операции: И (логическое умножение), ИЛИ (логическое сложение), НЕ (отрицание). В вычислительной технике они обозначаются соответственно AND (или Ù), OR (или Ú), NOT (или ¯). С помощью этих трех операций можно представить сколь угодно сложную логическую операцию (логическую функцию). Числа, участвующие в логической операции, называются операндами. Операции И и ИЛИ — двухоперандовые. Операция НЕ — однооперандовая.

Рассмотрим пять основных операций алгебры логики.

1. Операция отрицания. Отрицанием утверждения А называется утверждение, которое ложно, если А истинно, и истинно, если А ложно. Отрицание обозначается Ā (читается «не А »). Связь между значением истинности для утверждений А и Ā можно выразить с помощью следующей таблицы истинности для отрицания:

Из первой строки таблицы видно, что Ā ложно, если Аистинно. Вторая строка устанавливает, что Ā истинно, если А ложно.

Пример 15. Рассмотрим высказывание

А = {Город Нью-Йорк — столица США}.

Отрицанием этого высказывания будет высказывание

Ā ={Город Нью-Йорк не является столицей США}.

Было бы ошибкой считать отрицанием высказывания А высказывание

В = {Город Вашингтон — столица США}.

Часто говорят, что операции отрицания в обычной речи соответст­вует употребление частицы не. Это не всегда так. В самом деле, пусть

A={Это пособие написано не для любителей музыки},

тогда

Ā = {Это пособие написано не не для любителей музыки}

или, в соответствии с правилами русской речи,

Ā = {Это пособие написано для любителей музыки},

т. е. для построения отрицания надо убрать из высказывания частицу «не».

Пример 16. Записать результат выполнения логической операции .

Ответ: = 10010

Следует заметить, что результатом логических операций может быть число, отличное от исходных.

2. Операция дизъюнкции.. Дизъюнкцией утверждений A и B называется утверждение, которое истинно, если истинно хотя бы одно из утверждений A и B, и ложно, когда A и B ложны одновременно. Дизъюнкция обозначается символом A B (читается «A или B») и определяется следующей таблицей истинности:

	A	B	A B

Пример 17. Даны два высказывания

А= {Завтра первый урок литература} и

В = {Завтра первый урок математика}.

Дизъюнкция этих высказываний

А В = {Завтра первый урок литература или математика}

будет истинной, если на первом уроке будет литература (2-я строка таблицы истинности) или математика (3-я строка таблицы), и ложной, если на первом уроке будет любой другой предмет или если урока вообще не будет (4-я строка таблицы).

Логические действия с двоичными числами выполняются поразрядно. Если количество разрядов в операндах неодинаково, следует дописать незначащие нули.

Пример 18. Логически сложить два двоичных числа 10100010₂ и 1111₂.

Решение:

Ответ: 10100010 1111=10101111

3. Операция конъюнкции. Конъюнкцией утверждений A и B называется утверждение, которое истинно, если истинны оба утверждения A и B, и ложно – в противном случае, т.е. когда хотя бы одно из утверждений ложно. Конъюнкция обозначается символом А В(читается «A и B») и определяется следующей таблицей истинности:

	A	B	A B

Пример 19. Пусть

А = {Петя не любит математику} и

В = {Петя любит физику}.

Конъюнкция А В= {Петя не любит математику и любит физику} истинна только тогда, когда Петя любит физику, аматематику не любит.

В остальных трех случаях, т. е. когда Петя:

а) не любит математику и не любит физику,

б) любит математику и физику,

в) любит математику, но не любит физику высказывание А В ложно.

Для образования конъюнкции в русском языке используются союзы и, а, но, хотя, однако.

Пример 20. Логически перемножить два двоичных числа 11110011₂ и 111111₂.

Решение:

00111111

Ответ: 11110011 111111 = 110011

4. Операция «исключающее или» (XOR, сложение по модулю 2). В случае 2 переменных результат выполнения операции является истинным тогда и только тогда, когда лишь один из аргументов является истинным. Для функции трёх и более переменных результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов равных 1, составляющих текущий набор - нечетное.

	A	B	A B

Пример 20. Произвести побитовую операцию XOR над двумя двоичными числами 10100010₂ и 1111₂.

Решение:

Ответ: 10100010 1111= .

5. Операция сдвига. Сдвиг, при котором уходящий бит исчезает, не влияя на оставшиеся биты, а на месте появившегося бита записывается бит 0.

Пример 21. Пусть у нас есть двоичное число 10101010.

Если сделать сдвиг влево на 1 бит, то получим число 01010100.

Если сделать сдвиг исходного числа вправо на 1 бит, то получим число 01010101.

Если сделать сдвиг исходного числа вправо на 4 бита, то получим число 00001010.

6. Операция циклического сдвига. При этом сдвиге уходящий бит появляется на месте появившегося свободного на другом конце числа.

Пример 22. Пусть у нас есть двоичное число 11111010.

Если сделать сдвиг влево на 1 бит, то получим число 11110101.

Если сделать сдвиг вправо на 1 бит, то получим число 01111101.