Затухающие гармонические колебания

Механические гармонические колебания

Незатухающие гармонические колебания

1. Процесс, при котором отклонение некоторой величины от положения равновесия (смещение ) зависит от времени по закону синуса или косинуса

(1)

называется гармоническим колебанием. Величина – максимальное отклонение от положения равновесия – называется амплитудой колебания, аргумент косинуса называется фазой, – круговая частота. Число колебаний в единицу времени называется частотой; время , за которое совершается одно полное колебание, называется периодом. Величина , определяющая величину смещения при , , называется начальной фазой. Зависимость при гармоническом законе можно представить также в виде

(2)

либо

, (3)

где символ обозначает реальную часть от комплексного числа , т.е.

2. Необходимым и достаточным условием возникновения гармонических колебаний является появление при отклонении тела (или системы) от равновесного положения квазиупругой возвращающей силы ( – коэффициент квазиупругой силы). Можно это условие выразить и так, зависимость потенциальной энергии вблизи равновесного положения от смещения имеет вид

С учетом приведенного выше выражения для квазиупругой силы дифференциальное уравнение движения тела запишется как

. (4)

Общим решением этого уравнения является выражение (1), причем величины и выполняют роль постоянных интегрирования, определяемых из начальных условий, а .

3. Типичные задачи на определение периода колебаний некоторого тела (или системы) решаются обычно одним из двух способов: а) динамический, при котором уравнение движения необходимо привести к виду (2); б) энергетический, при котором необходимо доказать, что потенциальная энергия может быть записана в виде . Поскольку при гармонических колебаниях кинетическая энергия тела может быть представлена в виде

то, приравнивая максимальную кинетическую энергию к максимальной потенциальной

снова приходим к формуле , что также в ряде задач позволяет найти частоту и период гармонических колебаний.

4. При незатухающих колебаниях (отсутствие трения) полная энергия колебания равна

и не меняется со временем, причем и также являются периодическими функциями времени. Однако, поскольку

и колеблются с частотой , т.е. удвоенной по сравнению с частотой смещения. В то же время

(5)

Дифференцируя по времени это соотношение, снова приходим к уравнению (4). В тех случаях, когда удается полную энергию тела представить в виде (5), это дает еще один способ нахождения частоты колебаний.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем измеряется амплитуда гармонического колебания?

2. Что определяет фаза колебаний? Что означает утверждение: два колебания находятся в фазе, в противофазе?

3. Нарисуйте график зависимости для гармонического колебания.

4. Как соотносятся фазы смещения, скорости и ускорения при гармоническом колебании?

5. Получите формулу для периода колебаний математического маятника.

6. Что такое приведенная длина физического маятника?

7. Какие преимущества имеются у комплексной формы записи смещения при гармонических колебаниях? (соотношение (3)).

8. Чему равны средняя кинетическая и средняя потенциальная энергии гармонического колебания?

9. Пусть смещение при гармоническом колебании дается формулой (1). Фаза скорости имеет вид:

а) , б) ,

в) , г) .

Укажите правильный ответ.

10. Пусть смещение при гармоническом колебании дается формулой (1). Фаза ускорения имеет вид:

а) , б) , в) .

Укажите правильный ответ.

Примеры решения задач.

Пример 1. Точка совершает гармонические колебания по закону (2), где и – постоянные. Найти амплитуду этих колебаний.

Р е ш е н и е. Чтобы найти амплитуду , следует привести соотношение (2) к виду (1). Для этого запишем (2) следующим образом

= .

Здесь введено обозначение , таким образом,

Пример 2. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом 0,6 с и амплитудой см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь из положения равновесия.

Р е ш е н и е. Удобно записать смещение точки в виде .

В равновесии . Точка проходит путь за время, определяемое соотношением

откуда находим или . Средняя скорость на этом участке пути равна

Пример 3. Частица массы находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты как , и постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

Р е ш е н и е. В потенциальном поле сила, действующая на частицу, равна

В положении равновесия . Следовательно, соответствует равновесному положению. При малых

Видно, что это выражение имеет вид квазиупругой силы, причем , а значит, частота колебаний и период равны

, .

Пример 4. Однородный стержень положили на два быстро вращающихся блока, как показано на рис. 1. Расстояние между осями блоков , коэффициент трения между стержнем и блоками . Показать, что стержень будет совершать гармонические колебания. Найти их период.

Р е ш е н и е. На рисунке показаны силы, действующие на стержень, при смещении его центра масс вправо на расстояние . Поскольку в этом случае сила реакции больше силы реакции , то , и на стержень будет действовать возвращающая сила . Величины и найдем из системы уравнений

Откуда

, .

Уравнение движения стержня имеет вид

или

Окончательно

Пример 5. Тело массы упало с высоты на чашку пружинных весов. Коэффициент жесткости пружины . Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний в случае, когда массы чашки и пружины можно считать малыми.

Р е ш е н и е. Прежде всего следует выбрать начало координат. Его естественно поместить в положение равновесия, относительно которого и будут происходить колебания. Под действием груза , положенного на чашку весов без удара, пружина прогнется на величину , определяемую из условия равновесия

Ясно, что в момент, когда тело массы коснется чашки весов, положение тела будет характеризоваться начальным смещением при . Если пренебречь массами чашки и пружины, при их взаимодействии с упавшим телом не будет происходить перехода кинетической энергии тела в тепло (образно выражаясь, нечему нагреваться). Поэтому пружина фактически выполняет функцию некоторого эффективного потенциального поля, которое по мере сжатия пружины отбирает кинетическую энергию у груза. Начальная скорость тела (при ) находится из закона сохранения энергии

Далее можно решать задачу динамическим способом. Для чего используется уравнение движения груза в виде или . Решение этого уравнения имеет стандартную форму (1), а амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий при . Эти условия дают

Используя основное тригонометрическое соотношение

получим для амплитуды выражение

Найдем решение этой задачи также энергетическим способом. Из закона сохранения энергии следует уравнение

решение которого дает также вышеприведенный ответ для .

Затухающие гармонические колебания

5. Если колебание некоторого тела сопровождается трением, то энергия и амплитуда колеблющегося тела будут уменьшаться. Если сила трения зависит от скорости по закону , то закон такого затухающего колебания будет иметь вид

(6)

где

Величина носит название коэффициента затухания, а называется временем релаксации: за время амплитуда колебаний уменьшается в раз. Затухающие колебания характеризуют также логарифмическим коэффициентом затухания

(7)

и добротностью где полная энергия колебаний в некоторый момент времени , а потеря энергии колебаний за отрезок времени, равный периоду колебаний и следующий за моментом времени При выполнении неравенства затухающие колебания невозможны и процесс становится апериодическим.

Вопросы для самоконтроля

11. Вывести дифференциальное уравнение затухающих колебаний, решением которого является закон (1).

12. Дать определение логарифмического декремента затухания.

13. Каков физический смысл добротности? Указание: принять во внимание формулы и

14. Изобразить графически зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени.

15. Добротность при затухающем колебании дается формулой:

а) , б) , в) , г) ,

где - число колебаний, за которое амплитуда затухающего колебания уменьшится в раз.

Укажите правильное утверждение.

Примеры решения задач

Пример 6. Амплитуда затухающих колебаний в начальный момент времени равна см. Через с после начала движения она равна см. В какой момент времени амплитуда будет равна см.

Р е ш е н и е. Воспользуемся зависимостью амплитуды затухающих колебаний от времени

Отсюда

, .

Из этих соотношений можно найти

с.

Пример 7. Точка совершает колебания с частотой . Найти коэффициент затухания , если в начальный момент времени скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в раз меньше амплитуды.