Механические гармонические колебания
Незатухающие гармонические колебания
1. Процесс, при котором отклонение некоторой величины от положения равновесия (смещение ) зависит от времени по закону синуса или косинуса
(1)
называется гармоническим колебанием. Величина – максимальное отклонение от положения равновесия – называется амплитудой колебания, аргумент косинуса называется фазой, – круговая частота. Число колебаний в единицу времени называется частотой; время , за которое совершается одно полное колебание, называется периодом. Величина , определяющая величину смещения при , , называется начальной фазой. Зависимость при гармоническом законе можно представить также в виде
(2)
либо
, (3)
где символ обозначает реальную часть от комплексного числа , т.е.
2. Необходимым и достаточным условием возникновения гармонических колебаний является появление при отклонении тела (или системы) от равновесного положения квазиупругой возвращающей силы ( – коэффициент квазиупругой силы). Можно это условие выразить и так, зависимость потенциальной энергии вблизи равновесного положения от смещения имеет вид
.
С учетом приведенного выше выражения для квазиупругой силы дифференциальное уравнение движения тела запишется как
. (4)
Общим решением этого уравнения является выражение (1), причем величины и выполняют роль постоянных интегрирования, определяемых из начальных условий, а .
3. Типичные задачи на определение периода колебаний некоторого тела (или системы) решаются обычно одним из двух способов: а) динамический, при котором уравнение движения необходимо привести к виду (2); б) энергетический, при котором необходимо доказать, что потенциальная энергия может быть записана в виде . Поскольку при гармонических колебаниях кинетическая энергия тела может быть представлена в виде
,
то, приравнивая максимальную кинетическую энергию к максимальной потенциальной
,
снова приходим к формуле , что также в ряде задач позволяет найти частоту и период гармонических колебаний.
4. При незатухающих колебаниях (отсутствие трения) полная энергия колебания равна
и не меняется со временем, причем и также являются периодическими функциями времени. Однако, поскольку
,
,
и колеблются с частотой , т.е. удвоенной по сравнению с частотой смещения. В то же время
(5)
Дифференцируя по времени это соотношение, снова приходим к уравнению (4). В тех случаях, когда удается полную энергию тела представить в виде (5), это дает еще один способ нахождения частоты колебаний.
Вопросы для самоконтроля
1. В чем измеряется амплитуда гармонического колебания?
2. Что определяет фаза колебаний? Что означает утверждение: два колебания находятся в фазе, в противофазе?
3. Нарисуйте график зависимости для гармонического колебания.
4. Как соотносятся фазы смещения, скорости и ускорения при гармоническом колебании?
5. Получите формулу для периода колебаний математического маятника.
6. Что такое приведенная длина физического маятника?
7. Какие преимущества имеются у комплексной формы записи смещения при гармонических колебаниях? (соотношение (3)).
8. Чему равны средняя кинетическая и средняя потенциальная энергии гармонического колебания?
9. Пусть смещение при гармоническом колебании дается формулой (1). Фаза скорости имеет вид:
а) , б) ,
в) , г) .
Укажите правильный ответ.
10. Пусть смещение при гармоническом колебании дается формулой (1). Фаза ускорения имеет вид:
а) , б) , в) .
Укажите правильный ответ.
Примеры решения задач.
Пример 1. Точка совершает гармонические колебания по закону (2), где и – постоянные. Найти амплитуду этих колебаний.
Р е ш е н и е. Чтобы найти амплитуду , следует привести соотношение (2) к виду (1). Для этого запишем (2) следующим образом
= .
Здесь введено обозначение , таким образом,
.
Пример 2. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом 0,6 с и амплитудой см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь из положения равновесия.
Р е ш е н и е. Удобно записать смещение точки в виде .
В равновесии . Точка проходит путь за время, определяемое соотношением
,
откуда находим или . Средняя скорость на этом участке пути равна
.
Пример 3. Частица массы находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты как , и постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
Р е ш е н и е. В потенциальном поле сила, действующая на частицу, равна
.
В положении равновесия . Следовательно, соответствует равновесному положению. При малых
.
Видно, что это выражение имеет вид квазиупругой силы, причем , а значит, частота колебаний и период равны
, .
Пример 4. Однородный стержень положили на два быстро вращающихся блока, как показано на рис. 1. Расстояние между осями блоков , коэффициент трения между стержнем и блоками . Показать, что стержень будет совершать гармонические колебания. Найти их период.
Р е ш е н и е. На рисунке показаны силы, действующие на стержень, при смещении его центра масс вправо на расстояние . Поскольку в этом случае сила реакции больше силы реакции , то , и на стержень будет действовать возвращающая сила . Величины и найдем из системы уравнений
.
Откуда
, .
Уравнение движения стержня имеет вид
или
.
Окончательно
.
Пример 5. Тело массы упало с высоты на чашку пружинных весов. Коэффициент жесткости пружины . Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний в случае, когда массы чашки и пружины можно считать малыми.
Р е ш е н и е. Прежде всего следует выбрать начало координат. Его естественно поместить в положение равновесия, относительно которого и будут происходить колебания. Под действием груза , положенного на чашку весов без удара, пружина прогнется на величину , определяемую из условия равновесия
Ясно, что в момент, когда тело массы коснется чашки весов, положение тела будет характеризоваться начальным смещением при . Если пренебречь массами чашки и пружины, при их взаимодействии с упавшим телом не будет происходить перехода кинетической энергии тела в тепло (образно выражаясь, нечему нагреваться). Поэтому пружина фактически выполняет функцию некоторого эффективного потенциального поля, которое по мере сжатия пружины отбирает кинетическую энергию у груза. Начальная скорость тела (при ) находится из закона сохранения энергии
Далее можно решать задачу динамическим способом. Для чего используется уравнение движения груза в виде или . Решение этого уравнения имеет стандартную форму (1), а амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий при . Эти условия дают
.
Используя основное тригонометрическое соотношение
получим для амплитуды выражение
Найдем решение этой задачи также энергетическим способом. Из закона сохранения энергии следует уравнение
решение которого дает также вышеприведенный ответ для .
Затухающие гармонические колебания
5. Если колебание некоторого тела сопровождается трением, то энергия и амплитуда колеблющегося тела будут уменьшаться. Если сила трения зависит от скорости по закону , то закон такого затухающего колебания будет иметь вид
(6)
где
Величина носит название коэффициента затухания, а называется временем релаксации: за время амплитуда колебаний уменьшается в раз. Затухающие колебания характеризуют также логарифмическим коэффициентом затухания
(7)
и добротностью где полная энергия колебаний в некоторый момент времени , а потеря энергии колебаний за отрезок времени, равный периоду колебаний и следующий за моментом времени При выполнении неравенства затухающие колебания невозможны и процесс становится апериодическим.
Вопросы для самоконтроля
11. Вывести дифференциальное уравнение затухающих колебаний, решением которого является закон (1).
12. Дать определение логарифмического декремента затухания.
13. Каков физический смысл добротности? Указание: принять во внимание формулы и
14. Изобразить графически зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени.
15. Добротность при затухающем колебании дается формулой:
а) , б) , в) , г) ,
где - число колебаний, за которое амплитуда затухающего колебания уменьшится в раз.
Укажите правильное утверждение.
Примеры решения задач
Пример 6. Амплитуда затухающих колебаний в начальный момент времени равна см. Через с после начала движения она равна см. В какой момент времени амплитуда будет равна см.
Р е ш е н и е. Воспользуемся зависимостью амплитуды затухающих колебаний от времени
.
Отсюда
, .
Из этих соотношений можно найти
с.
Пример 7. Точка совершает колебания с частотой . Найти коэффициент затухания , если в начальный момент времени скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в раз меньше амплитуды.
Р е ш е н и е. Найдем с помощью (6) скорость точки
По условию задачи
0 = (8)
или , .
Тогда
или .
(Здесь принято < 0, поскольку иначе правая часть уравнения (8) будет больше нуля).