По характерным точкам
Эпюры Q и M в балке можно построить без составления
аналитических выражений этих функций, а путем вычисления Q и M в
характерных сечениях. Рассмотрим порядок расчета.
– Обозначаем характерные точки: опоры, точки приложения
сосредоточенных сил и моментов, границы распределенной нагрузки,
граничные точки балки. Этими точками балка делится на участки.
– Определяем значения внутренних усилий – M и Q в характерных
сечениях каждого участка с учетом знаков. Соединяя эти значения, строим
эпюры отдельно на каждом участке.
– Построение выполняем с учетом характера эпюр.
Если на участке нет распределенной нагрузки, эпюра моментов ме-
няется по линейному закону и может быть построена по двум краевым се-
чениям. Поперечная сила на таком участке постоянна.
Если на участке действует равномерно распределенная нагрузка,
эпюра моментов очерчена квадратной параболой и строится по двум или
трем точкам. Третья ордината соответствует, как правило, экстремальному
(максимальному или минимальному) значению изгибающего момента.
Координата этого сечения соответствует нулевому значению на эпюре
поперечных сил. Поперечная сила, меняется по линейному закону и
строится по двум точкам.
Все сечения будем относить к участку. При определении усилий в
крайних точках участка сечение сдвигается внутрь этого участка на
бесконечно малую величину. Обозначим усилия двумя индексами. Первый
связан с точкой, где делается сечение, второй – с индексом участка.
1
2 3
4 5 6 7
Пример В.1. Дана балка, загру-
M=ql2
F=ql женная
силовой
нагрузкой
q
HA A
C
(рис. В.1, а). Требуется построить
B
D
а)
1
2 3
K
4 5 6 7
эпюры Q и M.
2 ql
7 ql
Решение
V =
V =
B
A
1. Найдем реакции опор:
l
2 l
l
б)
ql
Σ M =;
0 V ⋅3 l − F ⋅4 l + M − q ⋅2 l ⋅2 l =
A
B
2 ql
Q
4 2
ql − ql + 4 2
ql
7 ql
4 ql
z0
=;
0 V =
=
.
B
3 l
Σ M = 0; − V ⋅3 l + M + q ⋅2 l ⋅ l −
ql2
B
A
ql
ql2
в)
ql + 2 2
ql − ql
2 ql
3
М
− F ⋅ l =;
0 V =
=
.
A
3 l
2ql2
Σ X =0;
=0.
A
H
3 Рис. В.1
Проверка правильности определения реакций:
2 ql
Σ Y =
ql
;
0 V + V − 2 ql − F ==
l +
− 2 ql − ql =.
A
B
2. Обозначим характерные точки в балке: A, B – опоры, C – точка
приложения момента, D – правая граница балки. Характерными точками
балка делится на участки. Определим усилия на каждом участке.
3. Построим эпюру поперечных сил по характерным точкам. Рас-
смотрим отдельно каждый участок балки.
Участок А-С. Поперечная сила на участке постоянна. Делаем сече-
ние в любом месте этого участка (рис. В.2).
Из равновесия левой части получим:
A
QA-C
2 ql
лев.
Y
= 0
∑ часть. Q − V =;0
2 ql
Q
= V =
V =
A − C
A
.
A − C
A
A
Знак «+» для силы QA-C получается из уравнения
Рис. В.2
при условии, что QA-C направлена по ходу часовой стрелке вокруг отсечен-
ной части). Знак поперечной силы QA-C можно получить также через на-
правления реакции VА. Реакция стремится повернуть левую часть по ходу
часовой стрелки. Это соответствует положительному значению QA-C.
Участок В-С. Здесь действует равномерно распределенная нагрузка,
поэтому эпюра Q будет линейна.
а) Найдем QС-В (рис. В.3). Это значение поперечной силы в сечении
С (первый индекс) на участке С-В (второй индекс –
M=ql
2
правая граница участка). Сечение вблизи точки С
A
C
сдвинем внутрь участка С-В (сечение 3-3 на рис.
Q
В.1). Из равновесия левой части получим:
C- B
2 ql
VA
Q
= V =
l
C −
(Знак «+», т. к. реакция стремится
B
A
повернуть левую часть по ходу часовой стрелки).
Рис. В.3
б) Найдем QB-C в сечении, которое сдвинуто M=ql2
внутрь участка С-В (сечение 4-4 на рис. В.1). Отсе-
q
QB-C
ченная часть показана на рис. В.4.
2 ql
A
C
B
Q
= V − q ⋅ 2 l =
− 2 ql = − 33
,
ql.
B − C
A
VA
l
2l
Соединяем полученные значения прямой линией.
Рис. В.4
Участок B-D. Делаем сечение в любом месте участка B-D, так как
значение поперечной силы здесь постоянно (сеч. 6-6). Рассмотрим
равновесие правой части. Не будем далее показывать отсеченную часть
отдельно. Q
= F = ql
B −
. Знак поперечно силы «+», так как сила F дает
D
поворот вокруг сечения по ходу часовой стрелке.
Оценим правильность построения эпюры Q. Под точками приложе-
ния сосредоточенных векторов (внешней силы F и реакций) на эпюре
скачки на величину этих векторов. Сосредоточенный момент на эпюре Q
не отражается. Перепад граничных значений на участке С-В равен q ⋅ 2l (ин-
тенсивность нагрузки, умноженная на длину ее распределения).
4. Построим эпюру изгибающих моментов по характерным точкам.
Участок А-С. Эпюра моментов на этом участке линейна (нет
равномерно распределенной нагрузки). Найдем два граничных значения:
MA-C и MC-A.
Для определения MA-C делаем сечение 1-1 и рассматриваем
равновесие левой части. Берем для этой части сумму моментов
относительно точки сечения. Изгибающий момент МА-С = 0, так как у
реакции VA нет плеча. Делаем сечение 2-2. Изгибающий момент MC-A най-
2 2
ql
дем также из равновесия левой части М
= V ⋅ l =
C − A
A
(растянуты
нижние волокна). Соединяем полученные значения прямой линией.
Участок В-С. На этом участке эпюра изгибающих моментов меня-
ется по параболе, т. к. действует равномерно распределенная нагрузка.
Сделаем сечение 3-3 и определим изгибающий момент MC-B
2 2
ql
ql
М
= V ⋅ l − M =
− ql = −
C − B
A
(растянуты верхние волокна).
3 2
Сечение 4-4:
M
= V ⋅ 3 l − q ⋅ 2 l ⋅ l − M = ql ⋅ 3 l − 2 ql − ql = − ql B − C
A
; (рас-
тянуты верхние волокна). Третье экстремальное значение изгибающего
момента на участке B-C будет в сечении, где поперечная сила изменяет
знак. Определяем положение этого сечения
V
Q(z) = V − qz = 0 => z
A
=
= l
A
.
q
Вычислим изгибающий момент в этом сечении (сечение K):
⎛
⎞
M = V
+
−
−
=
⎜ +
⎟ − ⋅
⋅
−
= −
K
A (
z
ql
l
l
l
ql
l z
qz
M
l
q
ql
0)
.
3 ⎝
3 ⎠
3 2 ⋅ 3
Соединяем эти три значения параболой.
Участок B-D. Эпюра моментов на этом участке линейна. Найдем
два граничных значения MB-D и MD-B из равновесия правой части. Сдела-
ем сечение 5-5:
М
= − F ⋅ l = − ql ⋅ l = − ql
B −
(растянуты верхние волокна).
D
Сечение 6-6: M
= 0
D − B
. Соединяем полученные значения прямой линией.
Оценим правильность построения эпюры M.
Моменты MB-D и MB-C равны между собой, т. к. в точке приложения
вектора силы на эпюре моментов – излом, вершина которого всегда на-
правлена в сторону действия вектора. В точке, где действует сосредото-
ченный момент, на эпюре моментов скачок на величину этого момента.
Эпюры Q и M по всей оси балки показаны на рис. В.1, a-в.