Статически определимых балок
Приведем эпюры изгибающих моментом (M) и поперечных сил (Q),
построенные в однопролетной балке, для некоторых часто используемых
случаев нагружения (рис. В.5).
а) Действие сосредоточенной
б) Действие равномерно распределен-
Силы с произвольной привязкой
ной нагрузки в пролете балки
F
q
a
b
l
l
M
M
ab / l
ql2 / 8
b / l
ql / 2
Q
Q
a / l
ql / 2
в) Действие сосредоточенного г) Действие сосредоточенного
Момента с произвольной привязкой,
Момента с произвольной привязкой,
Направленного против хода часовой
направленного по ходу ча совой стрелки
стрелки
M
M
a
b
a
b
l
l
M b / l
M a / l
M
M
M a / l
M b / l
M / l
Q
Q
M / l
Рис. В5
Построение эпюр внутренних усилий в раме
По характерным точкам
В раме, кроме деформаций изгиба, возникают осевые деформации
сжатия-растяжения. Этим деформациям соответствуют 3 внутренних
усилия: изгибающий момент M, поперечная сила Q и продольная сила N.
y
q
Пример В.2. Дана рама, загружен-
x
м
ная силовой нагрузкой (рис. В.6).
F
q= 2 кН/м; F= 9 кН; M= 30 кНм.
M
м
HA A
B
Требуется
построить
эпюры
M, Q, N от силового воздействия.
VA
6 м
6 м
VB
Рис. В.6
Определение опорных реакций
Реакцию опоры А раскладываем на две составляющие: вертикальную
VA и горизонтальную HA. В опоре В возникает вертикальная реакция VB.
Направление реакций выбираем произвольно. Для определения значений
реакций подбираем уравнения статики так, чтобы каждое уравнение со-
держало одно неизвестное:
∑ X =;0
H − F =,
H = F = 9
A
A
кН.
∑
F ⋅ 2 + M + ⋅12 ⋅ 6
M =;
F ⋅ 2 + M + q ⋅12 ⋅ 6 − V ⋅12 =,
V =
q
= 16 кН.
B
A
A
∑
− F ⋅ 2 − M + ⋅12 ⋅ 6
M =;
F ⋅ 2 + M − q ⋅12 ⋅ 6 + V ⋅12 =,
V =
q
= 8 кН.
A
B
B
Проверка ∑ Y =;
0 16 + 8 − 2 ⋅12 =;
0 ≡.
0 Проверка выполняется.
Реакции положительны, т. е. их направление изначально выбрано верно.
Построение эпюр M, Q, N
Делим раму на участки характерными точками: это точки, примы-
кания опор (A, B), приложения сосредоточенных сил и моментов (2, 6); границы распределенной нагрузки (3, 5); узловые соединения стержней
разных направлений (3,4, 5); граница стержня (1).
III
IV
q
Таким образом, получено 7
участков (A-3, 3-4, 1-2, и т. д.).
M
II
II
IV
4
Будем определять усилия на
F
III
2
каждом участке, предвари-
I
V
V
I
тельно оценив характер эпюр.
A
B
Н
A
VA
Рис. В.7
VB
1. Если эпюра на участке постоянна – делаем сечение в любом месте
участка и находим одно значение.
2. Если эпюра на участке линейна – делаем сечение в начале и в конце
участка. Полученные значения соединяем прямой линией.
3. Если эпюра на участке криволинейна (например, квадратная
парабола на эпюре моментов) – делаем сечения на границах участка. Далее
находим третью ординату. Как правило, это экстремальное значение
изгибающего момента которое соответствует нулевому значению на эпюре
поперечных сил.
Участок A-3. Определим MA- 3, QA- 3, NA-3 – момент, поперечную и
продольную силы в точке А на участке А-3. Для этого делаем сечение чуть
выше точки А (сечение I-I). Рассмотрим равновесие нижней части (рис.
В.8). При этом момент направляем произвольно (в данном случае направ-
ление МА-3 соответствует растяжению правых волокон). Поперечную силу
QA-3 направляем положительно, то есть по ходу часовой стрелки вокруг от-
сеченной части. Продольную силу NA-3 также направляем положительно –
от сечения. Определим эти усилия с помощью
MA -3
уравнений статики:
NA-3
HA
QA-3
A
∑ M =;0 M =.0
A
A −3
∑ X =;0
Q
+ H =,
Q
= − H = 9
− кН.
A −3
A
A −3
A
VA
∑ Y =;0
N
+ V =,
N
= − V = 16
−
кН.
A −3
A
A −3
a
Рис. В.8
Найдем усилия M 3 -А, Q 3 -А, N 3 -А. Сечение делаем
M3-A
вблизи точки 3 на участке А-3 (сечение II-II).
N3-A
Отсеченная часть показана на рис. В.9.
Q3-A
∑ M =;0 M + H ⋅4 =,0 M = 36
−
кНм.
3− A
A
3− A
м 4
∑ X =;0 Q + H =,0 Q = − H = 9
− кН.
3− A
A
3− A
A
HA
A
∑ Y =;0
N
+ V =,
N
= − V = 16
−
кН.
3− A
A
3− A
a
Откладывая полученные значения, строим
VA
эпюры M, Q, N на участке A-3 (рис. В.10).
Эпюру моментов строим на растянутых во-
Рис. В.9
локнах, знак на эпюре не ставится.
Внутренний момент М 3- А на рис. В.9 соответ-
ствует растяжению правых волокон. Т. к. он
получился отрицательным, на эпюре покажем
его на левых волокнах. Знаки «+» и «–» на
М
Q
N
эпюрах Q и N откладываем с любой стороны
(кНм)
(кН)
(кН) от оси стержня.
Рис. В.10
При определении усилий на других участках рамы не будем отдель-
но показывать отсеченную часть и искомые внутренние усилия. Знаки и
значения этих усилий можно найти по внешней нагрузке.
Участок 3-4. Определим момент M 3-4. Делаем сечение вблизи точ-
ки 3 на участке 3-4 (сечение III-III, см. рис. В.7). Возьмем сумму момен-
тов всех силовых факторов левой части рамы относительно точки сечения.
В качестве положительного можно принимать любое направление момен-
та. Будем считать положительным момент, если он направлен против хода
часовой стрелки.
Тогда M
= H ⋅ 4 = 9 ⋅ 4 = 36 (
кНм растянуты верхние волокна).
3−4
A
Для определения момента M4-3 делаем сечение вблизи точки 4 на
участке 3-4 (сечение IV-IV). Рассмотрим также равновесие левой части.
M
= H ⋅ 4 − V ⋅ 6 + q ⋅ 6 ⋅ 3 = 9 ⋅ 4 −16 ⋅ 6 + 2 ⋅ 6 ⋅ 3 = −24
4−3
A
A
кНм
Эпюра моментов на этом участке криволинейна (квадратная
парабола). Момент M 4-3 будем откладывать на нижних волокнах, так как в
выражении этого момента преобладает составляющая, которая вызывает
растяжение нижних волокон (момент от реакции VA).
Для
определения
положения
растянутых
волокон
можно
использовать следующий прием. Показываем отсеченную часть, защемляя
сечение жесткой заделкой. Векторы реакций представляем в виде активной
нагрузки (опоры отбрасываем). На рис. В.11, а показана отсеченная часть,
используемая при определении M 4-3. Из рисунков видно, что
горизонтальная сила и распределенная нагрузка растягивают на участке
3-4 верхние волокна (рис. В.11, б), а вертикальная сила – нижние (рис.
В.11, в).
2 кН/м
a)
б)
в)
3
4
3
4
3
9 кН
16 кН
Рис. В.11
Значение поперечной силы определим в двух крайних точках участка
3-4. Напомним, что поперечная сила в сечении равна сумме всех внешних
сил отсеченной части, которые направлены перпендикулярно оси стержня в
месте сечения. Определяем Q 3-4 (сечение III-III). Q
= V = 16
3−4
A
кН.
Знак этой силы плюс, так как вектор реакции VA поворачивает отсеченную
часть относительно сечения III-III по ходу часовой стрелки.
Для определения Q 4-3 проводим сечение IV-IV. В выражении Q4-3 ре-
акция VA войдет также со знаком плюс. Равнодействующая распределенной
нагрузки q ⋅ 6 будет иметь знак минус, так как стремится повернуть сече-
ние против хода часовой стрелки: Q
= V − q ⋅ 6 = 16 − 2 ⋅ 6 = 4 кН.
4−3
a
Продольная сила на участке 3-4 постоянна и численно равна сумме
всех сил отсеченной части, направленных вдоль оси стержня (в данном
случае это реакция HА). Для определения N3-4 можно провести сечение че-
рез любую точку участка 3-4 (например, сечение III-III). Реакция войдет в
выражение продольной силы со знаком минус, так как она направлена к
сечению и вызывает сжатие волокон на участке 3-4. N
= −9 кН.
3−4
Участок 1-2. Проведем сечение в любой точке этого участка (на-
пример, сечение V-V) и рассмотрим равновесие нижней отсеченной части.
Получим следующие значения внутренних усилий на этом участке:
M
= 0;
Q
= 0;
N
= 0.
1−2
1−2
1−2
Аналогичным образом определим усилия на других участках рамы.
Участок 2-4
M
=;
M
= 9⋅2 =18 кНм.
растянуты правые волокна.
2−4
4−2
Q
= 9 кН.
N
=;
2−4
2−4
Участок 4-5
M
= 30 − 2⋅ 6⋅3 + 8⋅ 6 = 42 кНм.
4−5
M
= 30
растянуты нижние волокна.
5−4
кНм.
Q
= 8
− кН. Q = 8
− + 2⋅ 6 = 4 кН.
5−4
4−5
N
= 0.
4−5
Участок 5-6
M
= 30 кНм; M
= 30 кНм.
растянуты правые волокна.
5−6
6−5
Q
=;
N
= 8
− кН.
5−6
5−6
Участок 6-В
M
=;
Q
=;
N
= 8
− кН.
6− B
6− B
6− B
Окончательные эпюры M, Q, N показаны на рис. В.12.
4 м
4 м
O
М (кНм)
Q (кН)
N (кН)
Рис. В.12
Максимальное значение момента на участке 4-5 соответствует нулю
на эпюре Q (точка О). Определим это значение:
M
= 30 − q ⋅ 4 ⋅ 2 + 8 ⋅ 4 = 46кНм.
max
На участке 3–4 эпюра Q не имеет нулевого значения. Это означает,
что момент на этом участке имеет экстремальные значения (минимум и
максимум) по краям (36 кНм и 42 кНм). В этом случае криволинейная
эпюра моментов может быть построена по двум значениям. Необходимо
показать лишь криволинейный характер этой эпюры.
Проверка правильности построения эпюр заключается в проверке
равновесия узлов (рис. В.13). Для этого проведем замкнутое сечение
вокруг каждого узла (бесконечно близко к узловой точке) и покажем
внутренние усилия со стороны всех стержней, примыкающих к узлу. Если
имеет место узловая нагрузка, ее также необходимо учесть. Далее для
каждого узла составляем три уравнения статики: сумма моментов
относительно узловой точки и сумма проекций на оси x и y. Если узел
находится в равновесии, все уравнения должны тождественно равняться
нулю. Выполним такую проверку для узлов 3, 4, 5.
Узел 3
16 кН
∑ X =,0 9−9=.0
9 кН
36 кНм
9 кН
∑ Y =,0 16−16=.0
16 кН
∑ M =,0 36−36=.0
36 кНм
Узел 4
∑ X =,0 9−9=.0
4 кН
24кНм
9 кН
42кНм
∑ Y =,0 4−4=.0
4 кН
9 кН
∑ M =,0 42−18−24=.0
18 кНм
Узел 5
8 кН
∑ X =,0 0=.0
30 кНм
∑ Y =,0 8−8=.0
8 кН
∑ M =,0 30−30=.0
30 кНм
Рис. В13
Все узлы находятся в равновесии.
Отметим, что на эпюре М в двухстержневых узлах (3 и 5 ) равнове-
сие просматривается без дополнительного вырезания этих узлов. Видно,
что двухстержневые узлы в равновесии, если узловые значения в них рав-
ны и откладываются с одной стороны узла (либо с внутренней, либо с на-
ружной).
Контрольные вопросы для самопроверки
1. Как проверить правильность определения опорных реакций?
2. Что выявляет отрицательное значение опорной реакции?
3. Какие точки при построении эпюр называются характерными?
4. Зачем проводится сечение при определении внутренних уси-
лий?
5. Как определяется численное значение изгибающего момента в
сечении балки или рамы?
6. Как определяется численное значение поперечной и продольной
сил в сечении балки и рамы?
7. Назовите правило знаков при определении М, Q и N.
8. Как определить растянутые волокна при нахождении момента в
сечении?
9. Какова связь между внутренними усилиями в сечениях, при-
мыкающих к жесткому узлу рамы?
10. Какая связь между эпюрами М и Q, и как она используется для
проверки правильности построения эпюр.