ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Некоторые сведения из дисциплины




«теоретическая механика»

1. Операции с векторами

Представим внешнюю нагрузку и внутренние силовые факторы в

виде системы векторов. При этом будем использовать 3 наиболее часто

встречающихся типа векторов:

– вектор сила;

– пара векторов, или вектор дуга;

– равномерно распределенная система векторов.

Рассмотрим примеры составления уравнений статики с использованием

этих векторов.

Проекции векторов на оси x и y.

y

 

y

y

a)

б)

в)

M

V

 

W

M

Vy

W

y=W

 

α

 

V

Wx=0

x

x

x

x

 

 

Рис. Б.1

На рис. Б.1, а показаны проекции вектора V на оси x и y: Vx=Vcos α; Vy=Vsin α.

На рис. Б.1, б изображен вектор W, параллельный оси y. В этом

случае проекция на ось y (параллельную вектору) равна величине самого

вектора, а проекция на ось x равна нулю. Таким образом, вектор дает ну-

левую проекцию на ось, перпендикулярную этому вектору.

На рис. Б.1, в показан сосредоточенный момент, который можно

представить в виде пары сил равной величины и противоположного на-

правления. Тогда проекция сосредоточенного момента на любую ось рав-

на нулю.

Если имеет место равномерно распределенная нагрузка интенсивно-

стью q, которая действует на длине распределения l, то эту нагрузку заме-

няют равнодействующей R (рис. Б.2 ).

 

R=ql

Равнодействующая представляет собой век-

l/2

q

тор-силу и прикладывается посередине уча-

стка, где действует равномерно распределен-

l

ная нагрузка. Величина равнодействующей

равна ql. Далее проекции на оси выполняют-

Рис. Б.2

ся так же, как и для вектора-силы.

 

 

Момент относительно точки

Вектор сила создает момент относительно точки О, равный величине

вектора, умноженной на плечо. Плечо есть кратчайшему расстоянию от

точки О до вектора, т. е. это перпендикуляр, опущенный из точки О на

вектор (рис. Б.3, a), либо на линию действия (ось) вектора (рис. Б.3, б).

В случае, если точка О лежит на линии действия вектора, момент

вектора силы относительно этой точки равен нулю, т.к. плечо при этом

равно нулю.

Таким образом, сила создает нулевой момент относительно мно-

жества точек, которые лежат на линии действия вектора (рис. Б.3 ).

V

a)

V

б)

в)

V

 

О

r

О

 

 

r

О2

 

Рис. Б.3

О

О1

Сосредоточенный момент М создает момент относительно точки О

равный величине момента М без плеча.

В случае действия распределенной нагрузки, ее заменяют равнодей-

ствующей. Далее для определения момента относительно точки О, вектор

равнодействующей распределенной нагрузки умножается на плечо.

Пример Б.1. Дана система векторов в плоскости xy (рис. Б.4). Требуется

составить для них уравнения статики: сумма проекций на ось x и сумма

проекций на ось y.

 

F

 

3

F2

R=q·l

 

F

q

1

M

y

x

 

l

x

Рис. Б.4

 

Решение: ∑ X = FFcos °

60;

Y = FFsin 60° − R.

 

Пример Б.2. Возьмем ту же систему векторов. Требуется cоставить для

них уравнения статики: сумма моментов относительно точки О. В качестве

положительного возьмем направление против хода часовой стрелки. На

рис. Б.5 показаны все необходимые отрезки (плечи векторов).

 

 

R= q·l

 

F2

F1

q

 

M

F

 

3

r3

r1

l

Рис. Б.5

l/2

 

 

r

r4

 

О

Решение:

= − ⋅ − ⋅ +

⋅ − ⋅

 

m

F r F r

F r

R r

M.

o

+

1 1

 

2. Подбор уравнений статики для определения неизвестных

векторов уравновешенной системы сил

Система векторов на плоскости называется взаимно уравновешен-

ной, если для нее выполняется любое уравнение статики ∑ X = 0;

Y = 0; ∑ M = 0

. Часть векторов такой системы известны (это могут

быть, например, векторы внешних нагрузок). Для определения неизвест-

ных векторов подбираются уравнения статики таким образом, чтобы (по

возможности) в них входил один неизвестный вектор. Для этого необхо-

димо знать способы исключения векторов их уравнений. Рассмотрим этот

вопрос на примерах.

Пример Б.3. Дана плоская система векторов, изображенных на рис. Б.6

находится в равновесии. Векторы силовой нагрузки (F1, M, q) при этом из-

вестны. Требуется определить неизвестные векторы V1, V2, V3.

 

r1

О1

V

F

V2

r2

q

R= q·l

M

α

r3

l

V1

l/2

Рис. Б.6

Определим значение вектора V1.

Необходимо исключить из уравнения векторы V2 и V3. В качестве

моментной используется точка пересечения этих векторов (точка О 1). Так

как она лежит и на линии вектора V2 и на линии вектора V3, то эти векторы

относительно точки О 1 создают нулевой момент. Уравнение для определе-

ния значения вектора V1 будет иметь следующий вид:

 

 

m = 0; Frqlr + M + Vr = 0, o

(Frqlr + M

)

откуда V = −

.

r 3

Определим значение вектора V2.

Необходимо исключить из уравнения вектора V1 и V3. Так как эти

векторы параллельны (точка пересечения их отсутствует), то в качестве

расчетного будем использовать уравнение: равенство нулю суммы проек-

ций на ось, перпендикулярную этим стержням, т.е. ось Y. Уравнение для

определения значения вектора V2 будет иметь следующий вид:

Y = 0; − Fsin α + Vql = 0; 1

отсюда

 

V = Fsin α + ql.

Задание на самостоятельное закрепление материала

Задача Б.1. Дана система взаимно уравновешенных векторов (рис. Б.7).

Известны векторы внешней нагрузки F1, F2, M, q. Требуется подобрать и

записать уравнения статики для определения неизвестных векторов V1, V2,

V3. Все расстояния показать графически и обозначить ri.

 

V

V2

 

M

V3

q

F2

 

F1

45°

l

Рис. Б.7

 

Задача Б.2. Дана система взаимно уравновешенных векторов (рис. Б.8).

Известны векторы внешней нагрузки F1, F2, F3, M, q .Требуется подобрать

и записать уравнения статики для определения неизвестных векторов

V1,V2,V3. Все расстояния показать графически и обозначить ri.

 

 

 

 

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-08-19 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: