«теоретическая механика»
1. Операции с векторами
Представим внешнюю нагрузку и внутренние силовые факторы в
виде системы векторов. При этом будем использовать 3 наиболее часто
встречающихся типа векторов:
– вектор сила;
– пара векторов, или вектор дуга;
– равномерно распределенная система векторов.
Рассмотрим примеры составления уравнений статики с использованием
этих векторов.
Проекции векторов на оси x и y.
y
y
y
a)
б)
в)
M
V
W
M
Vy
W
y=W
α
V
Wx=0
x
x
x
x
Рис. Б.1
На рис. Б.1, а показаны проекции вектора V на оси x и y: Vx=V ⋅ cos α; Vy=V ⋅ sin α.
На рис. Б.1, б изображен вектор W, параллельный оси y. В этом
случае проекция на ось y (параллельную вектору) равна величине самого
вектора, а проекция на ось x равна нулю. Таким образом, вектор дает ну-
левую проекцию на ось, перпендикулярную этому вектору.
На рис. Б.1, в показан сосредоточенный момент, который можно
представить в виде пары сил равной величины и противоположного на-
правления. Тогда проекция сосредоточенного момента на любую ось рав-
на нулю.
Если имеет место равномерно распределенная нагрузка интенсивно-
стью q, которая действует на длине распределения l, то эту нагрузку заме-
няют равнодействующей R (рис. Б.2 ).
R=ql
Равнодействующая представляет собой век-
l/2
q
тор-силу и прикладывается посередине уча-
стка, где действует равномерно распределен-
l
ная нагрузка. Величина равнодействующей
равна ql. Далее проекции на оси выполняют-
Рис. Б.2
ся так же, как и для вектора-силы.
Момент относительно точки
Вектор сила создает момент относительно точки О, равный величине
вектора, умноженной на плечо. Плечо есть кратчайшему расстоянию от
точки О до вектора, т. е. это перпендикуляр, опущенный из точки О на
вектор (рис. Б.3, a), либо на линию действия (ось) вектора (рис. Б.3, б).
В случае, если точка О лежит на линии действия вектора, момент
вектора силы относительно этой точки равен нулю, т.к. плечо при этом
равно нулю.
Таким образом, сила создает нулевой момент относительно мно-
жества точек, которые лежат на линии действия вектора (рис. Б.3 ,в).
V
a)
V
б)
в)
V
О
r
О
r
О2
Рис. Б.3
О
О1
Сосредоточенный момент М создает момент относительно точки О
равный величине момента М без плеча.
В случае действия распределенной нагрузки, ее заменяют равнодей-
ствующей. Далее для определения момента относительно точки О, вектор
равнодействующей распределенной нагрузки умножается на плечо.
Пример Б.1. Дана система векторов в плоскости xy (рис. Б.4). Требуется
составить для них уравнения статики: сумма проекций на ось x и сумма
проекций на ось y.
F
3
F2
R=q·l
F
q
1
M
y
x
l
x
Рис. Б.4
Решение: ∑ X = F − F ⋅ cos °
60;
∑ Y = F − F ⋅ sin 60° − R.
Пример Б.2. Возьмем ту же систему векторов. Требуется cоставить для
них уравнения статики: сумма моментов относительно точки О. В качестве
положительного возьмем направление против хода часовой стрелки. На
рис. Б.5 показаны все необходимые отрезки (плечи векторов).
R= q·l
F2
F1
q
M
F
3
r3
r1
l
Рис. Б.5
l/2
r
r4
О
Решение: ∑
= − ⋅ − ⋅ +
⋅ − ⋅
m
F r F r
F r
R r
M.
o
+
1 1
2. Подбор уравнений статики для определения неизвестных
векторов уравновешенной системы сил
Система векторов на плоскости называется взаимно уравновешен-
ной, если для нее выполняется любое уравнение статики ∑ X = 0;
∑ Y = 0; ∑ M = 0
. Часть векторов такой системы известны (это могут
быть, например, векторы внешних нагрузок). Для определения неизвест-
ных векторов подбираются уравнения статики таким образом, чтобы (по
возможности) в них входил один неизвестный вектор. Для этого необхо-
димо знать способы исключения векторов их уравнений. Рассмотрим этот
вопрос на примерах.
Пример Б.3. Дана плоская система векторов, изображенных на рис. Б.6
находится в равновесии. Векторы силовой нагрузки (F1, M, q) при этом из-
вестны. Требуется определить неизвестные векторы V1, V2, V3.
r1
О1
V
F
V2
r2
q
R= q·l
M
α
r3
l
V1
l/2
Рис. Б.6
Определим значение вектора V1.
Необходимо исключить из уравнения векторы V2 и V3. В качестве
моментной используется точка пересечения этих векторов (точка О 1). Так
как она лежит и на линии вектора V2 и на линии вектора V3, то эти векторы
относительно точки О 1 создают нулевой момент. Уравнение для определе-
ния значения вектора V1 будет иметь следующий вид:
∑ m = 0; F ⋅ r − ql ⋅ r + M + V ⋅ r = 0, o
(F ⋅ r − ql ⋅ r + M
)
откуда V = −
.
r 3
Определим значение вектора V2.
Необходимо исключить из уравнения вектора V1 и V3. Так как эти
векторы параллельны (точка пересечения их отсутствует), то в качестве
расчетного будем использовать уравнение: равенство нулю суммы проек-
ций на ось, перпендикулярную этим стержням, т.е. ось Y. Уравнение для
определения значения вектора V2 будет иметь следующий вид:
∑ Y = 0; − F ⋅ sin α + V − ql = 0; 1
отсюда
V = F ⋅ sin α + ql.
Задание на самостоятельное закрепление материала
Задача Б.1. Дана система взаимно уравновешенных векторов (рис. Б.7).
Известны векторы внешней нагрузки F1, F2, M, q. Требуется подобрать и
записать уравнения статики для определения неизвестных векторов V1, V2,
V3. Все расстояния показать графически и обозначить ri.
V
V2
M
V3
q
F2
F1
45°
l
Рис. Б.7
Задача Б.2. Дана система взаимно уравновешенных векторов (рис. Б.8).
Известны векторы внешней нагрузки F1, F2, F3, M, q .Требуется подобрать
и записать уравнения статики для определения неизвестных векторов
V1,V2,V3. Все расстояния показать графически и обозначить ri.