Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид

в данном случае . Так как число

a +bi =2 + i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме

Найдем производные :

Подставим выражения и производных в заданное уравнение, получим после приведения подобных членов

Сократим на и приравняем коэффициенты при и , получим два уравнения для определения А и В:

откуда Запишем частное решение

Общее решение будет иметь вид

Пример 12. Найти частное решение линейного неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Найдем вначале общее решение, которое будет иметь вид . Чтобы найти общее решение соответствующего однородного уравнения , составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Общее решение соответствующего однородного уравнения

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид

в данном случае . Так как число

a +bi = i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме

Подставим выражения и производных в заданное уравнение, получим после приведения подобных членов

Приравняем коэффициенты при и , получим два уравнения для определения А и В:

Откуда Следовательно, частным решением будет . Общее решение будет иметь вид

Найдем С ₁, С ₂, используя начальные условия,

или

Отсюда С₁=1, С₂=0. В итоге получаем, что .

Система дифференциальных уравнений вида

где , , …, – неизвестные функции независимой переменной , называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , , …, , то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Иногда, нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению n -го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).

Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.

Пример 13. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Продифференцируем по первое уравнение: . Подставляя сюда выражения и из системы, получим

или имеем . Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общее решение для запишется в виде

Общее решение y находим из первого уравнения:

ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №6

Для решения задач 1 необходимо изучить пункт 8 программы.

Пример 14. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Рассматривая, переменную как постоянную величину, получим

Аналогично, рассматривая как постоянную величину, получим

Так же находим и производные второго порядка

Перед решением задачи 2 необходимо изучить пункт 9 программы.

Пример 15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Решение. Указанная область есть треугольник АВС (рис.1).

–1

–3

–1

–3

Рис. 1

Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке, или на границе области.

Найдем стационарные точки из условия В нашем случае

Решая систему уравнений, получим . Точка является стационарной. Находим

Исследуем функцию на границах. На линии : , . Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке [–3,0].

– стационарная точка функции одной переменной. Вычисляем

На линии : ; – cтационарная точка. Вычисляем

На линии : и ; – стационарная точка,

Сопоставляя все полученные значения функции , заключаем, что в точках и С(0; –3), в точке .

Для решения задачи 3 необходимо изучить пункт 8 программы.

Пример 16. Даны: функция , точка и вектор . Найти: 1) grad z в т. ; 2) производную в точке по направлению вектора

Решение. 1) Градиент функции имеет вид grad .

Вычисляем частные производные в точке

Таким образом, grad z

2) Производная по направлению вектора , определяется по формуле

где – угол, образованный вектором с осью . Тогда

Используя значения производных в точке , найденные ранее, получим

Перед решением задачи 4 необходимо изучить пункты 10 – 15, программы.

Пример 17. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Решение. Если область определена неравенствами

то объем тела находится по формуле

Для определения пределов интегрирования сделаем чертеж данного тела и его проекции на плоскость XOY (рис 2а и 2б).

Следует обратить внимание на то, что для переменной x границами являются наибольшее и наименьшее значения в заданной области, т.е. .

Рис. 2а

Переменная y является функцией переменной x. На рисунке видно, что область D ограничена снизу кривой , а сверху – кривой . Следовательно, .

Рис.2б

Аналогично, из рисунка тела видно, что оно снизу ограничено плоскостью , а сверху поверхностью . Таким образом, переменная z является функцией двух переменных x и y, и

Перед решением задачи 5 необходимо изучить пункты 16 – 22 программы.

Пример 19. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль 1) ломаной от точки до точки , где ;2) дуги эллипса

Решение. Пусть кривая L задана уравнениями в параметрической форме . Пусть точкам M и P этой кривой соответствуют значения параметра t соответственно. Тогда Если кривая задана уравнением , причем точке M соответствует , а точке P – , то

1) Криволинейный интеграл вдоль ломаной L можно разбить на сумму двух интегралов: вдоль отрезков AB и BC. Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки A и B