Рис.6.7. Рассмотрим движение материальной точки
В системе X
- положение точки определяется в каждый момент времени t координатами x,y,z.
- Выражения
представляют собой проекции вектора скорости точки на соответствующие оси в системе отсчета X.
В системе 
- положение материальной точки характеризуется в каждый момент времени
координатами 
- Проекции вектора скорости относительно на эти оси определяются выражениями
.
Из формул (6.2) получаем
Разделив первые три равенства на четвертое, получаем формулы для преобразования скоростей при переходе их одной системы отсчета в другую:
(6.3)
При 
эти соотношения переходят в преобразования Галилея в классической механике.
Обратные преобразования имеют вид:
Если тело движется параллельно оси x,
· его скорость 
относительно системы X совпадает с 
,
· а скорость 
относительно системы - с 
.
В этом случае закон сложения скоростей принимает вид 
(6.4)
Если скорость частицы в одной системе отсчета = c, то в другой системе, согласно (6.4) эта скорость равна
Мы получили, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Преобразования для импульса и энергии
Уравнения Ньютона
· инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.
· неинвариантными к преобразованиям Лоренца.. В частности, не инвариантен к преобразованиям Лоренца вытекающий из законов Ньютона закон сохранения импульса.
Импульс - в теории относительности, как и в Ньютоновской механике, равен произведению массы тела на его скорость
(6.5)
Масса. О днако в выражении (6.5) масса не является постоянной величиной, а зависит от скорости по закону
. (6.6)
Величина 
называется массой покоя - это инвариантная величина, масса 
носит название релятивистской массы.
|
|
Рис.6.8. Зависимость релятивистской массы от скорости.
Продифференцировав выражение (6.5) по времени, получаем
релятивистское выражение второго закона Ньютона 
Чтобы найти релятивистское выражение для энергии, умножим это уравнение на перемещение частицы 
:
Правая часть этого выражения равна работе, совершаемой над частицей за время dt.
Как следует из закона сохранения энергии, эта работа равна приращению энергии частицы:
Преобразуем полученное выражение:
Проинтегрировав, имеем 
Экспериментально доказано, что константа в этом выражении равна нулю.
Тогда полная энергия частицы 
(6.7)
Если скорость частицы равна нулю, энергия 
- это энергия покоя.
· Она не связана ни с каким движением частицы.
· Для произвольного тела энергия покоя равна сумме энергий покоя всех его частиц, кинетических энергий этих частиц в системе центра масс тела и потенциальных энергий взаимодействия этих частиц.
· В энергию покоя, как и в полную энергию, не входит потенциальная энергия тела в поле внешних сил.
Кинетическая энергия равна разности между полной энергией и энергией покоя частицы:
В случае малых скоростей 
эта формула преобразовывается к виду:
Мы получили классическое выражение для кинетической энергии частицы.
Решив совместно уравнения (6.5), (6.6) и (6.7), получаем: 
. (6.8)
При 
имеем: 
Это выражение отличается от классического выражения для кинетической энергии слагаемым 
.
Из выражения (6.7) следует еще одна формула для энергии: 
.
|
|
Тогда импульс частицы 
Получим еще одну формулу для энергии.
Из замедления времени получаем 
где 
- промежуток времени между двумя происходящими с частицей событиями, отсчитанный по часам в той системе отсчета, в которой частица движется,
- тот же промежуток времени, отсчитанный по часам, движущимся вместе с частицей.
Подставив это выражение в формулу (6.7), имеем 
(6.9)
Получим теперь преобразования импульса и энергии.
Из (6.8) следует 
(6.10)
Масса является инвариантом, следовательно, и выражение (6.10) представляет собой инвариант, т.е. имеет одинаковую величину во всех инерциальных системах отсчета. Сами по себе величины E и 
не являются инвариантами, так как они зависят от скорости, которая меняется при переходе из одной системы отсчета в другую.
1. Будем считать, что частица движется параллельно оси x,
· в системе скорость частицы равна 
.
· Тогда согласно релятивистской теореме сложения скоростей скорость в системе X равна
6.11)
Здесь 
- скорость, с которой система движется относительно системы X.
Энергию в системе X выразим через .
Для этого вычислим выражение 
:
Тогда энергия 
Полученная формула справедлива при любой взаимной ориентации векторов 
и 
. Это означает, что в преобразованиях участвует только компонента импульса 
.
Так как 
,
выражение для импульса принимает вид 
= 
.
Подставим в него из (6.11), имеем
2. будем считать, что
· в системе частица движется параллельно оси 
и, следовательно, 
.
· В системе Xкомпонента скорости частицы по оси x равна ,
так что 
.
Соответственно, 
|
|
Так как 
, то из преобразований Лоренца для скоростей 
, и
Аналогичный результат получается для компоненты 
.
Тогда преобразования для энергии и импульса принимают вид:
Эти формулы совпадают с формулами (6.2) преобразования координат и времени.
По аналогии с трехмерными векторами в евклидовом пространстве можно определить четырехмерные векторы.
Под четырехмерным вектором понимают совокупность четырех величин 
преобразующихся по тем же формулам, что и ct, x,y, z.
Квадрат такого вектора равен 
.
Вследствие того, что компоненты преобразуются так же, как координаты, квадрат четырехмерного вектора оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца.
Тогда совокупность величин 
образует четырехмерный вектор, называемый вектором энергии-импульса. Квадрат этого вектора является инвариантом и равен 
рис.6.9. Зависимость релятивистского импульса от скорости.
При малых скоростях релятивистский импульс совпадает с классическим.