Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Донской Государственный Технический Университет

кафедра “Высшей математики”

_______________________________________________________

Линейные системы
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

 

доклад по математике

Выполнил

Груздев Владимир Викторович

студент группы У-1-47

Руководитель

Братищев Александр Васильевич

Г.Ростов-на-Дону

Г.

 

 

Доклад посвящен теме, которой,по мнению автора,
в курсе дифференциального исчисления уделено
недостаточное внимание,
"СЛДУ с периодическими коэффициентами".

Приведены основные определения, теоремы,
на основе которых можно искать решения
(периодические) подобных систем.

Рассмотрены несколько примеров на тему.

 

Содержание.

 

1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами…………………….…….…………..4

2. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами..…………………………………………6

Примечания………………………………………………...…………………..7

Примеры………………………………………………………………….…….8

Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

 

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

ż = F(t) z (- ¥ < t < + ¥), (1)

где F(t) — непрерывная периодическая матрица с периодом w:

F(t + w ) = F(t).

Пусть z₁ (t), …, z_n (t) — фундаментальная система решений для системы уравнений (1), определяемая начальными условиями

z_j (0) = e_j (j = 1, …,n), (2)

где e_j = {d_j¹, …, d_jⁿ} (см. примечание 1). Поскольку матрица F(t) периодическая, функции z₁ (t + w ), …, z_n (t + w ) также образуют фундаментальную систему решений. Таким образом каждая из функций z_j (t + w ) ­­­­ будет линейной комбинацией z_k (t) (k = 1, …, n) с постоянными коэффициентами (см. примечание 2), поэтому

 

 

где с­­_j^k (j, k = 1, …, n) — постоянные. Последние соотношения можно записать в виде

Z(t + w ) = Z(t)C, (3)

где Z(t) — фундаментальная матрица решений z_j­ (t) (j = 1, …, n), а С = (с_j^k) — постоянная матрица.

В силу (1) и (2) матрица Z(t) удовлетворяет условиям

Ż = F(t)Z, Z(0) = E.

Полагая в равенстве (3) t = 0, получим Z( w ) = C.

Таким образом, Z(t + w ) = Z(t)Z( w ). (4)

Матрица Z( w ) называется матрицей монодромии системы уравнений (1). Очевидно çZ( w )ç ¹ 0. Собственные значения матрицы Z( w ) называются мультипликаторами системы уравнений (1).

Отметим, что если матрица F(t) действительная, то матрица монодромии также действительная, однако мультипликаторы будут, вообще говоря, комплексными числами.

Теорема 1. Для того чтобы комплексное число r было мультипликатором системы уравнений (1), необходимо и достаточно, чтобы существовало такое нетривиальное решение j (t) системы (1), для которого

j (t + w ) = r j (t). (5)

Доказательство. Пусть r — мультипликатор системы уравнений (1), тогда существует такой вектор z₀ ¹ 0, что

Z( w ) z₀ = r z₀.

Рассмотрим следующее нетривиальное решение системы уравнений (1):

j (t) = Z(t) z₀.

В силу (4)

j (t + w ) = Z(t + w ) z₀ = Z(t)Z( w ) z₀ = Z(t)r z₀ = rZ(t) z₀ = r j (t).

Необходимость условия сформулированного в теореме, доказана. Докажем достаточность. Из соотношения (5) при t = 0 получим

j ( w ) = r j (0). (6)

В силу теоремы единственности

j (t) = Z(t) j (0), (7)

причем j (0) ¹ 0, так как в противном случае решение j (t) было бы тривиальным. Из равенства (7) в силу (6) следует то, что

Z( w ) j (0) = j ( w ) = r j (0).

Таким образом, j (0) — собственный вектор матрицы Z( ω ), а ρ — мультипликатор системы уравнений (1). Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает

Следствие. Линейная однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное решение с периодом ω в том и только в том случае, когда один из ее мультипликаторов равен единице.

Замечания. 1. Имеет место

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица Z(t) допускает следующее представление:

Z(t) = Ф(t)e^At [1],

где Ф(t) — периодическая матрица с периодом ω, а А — постоянная матрица.

2. Легко видеть, что матрица Ф(t) удовлетворяет следующему условию:

откуда непосредственно следует, что замена переменных z = Ф(t) y переводит систему уравнений (1) в систему уравнений с постоянными коэффициентами (см. примечание 3)