Рассмотрим система дифференциальных уравнений
ż = F(t) z + g (t) (- ¥ < t < + ¥), (8)
где F(t) — непрерывная периодическая матрица с периодом ω, g (t) — непрерывная периодическая вектор-функция с периодом ω. Нас будут интересовать периодические решения этой системы уравнений с периодом ω.
Теорема 2. Пусть однородная система уравнений (1) (соответствующая неоднородной системе (8)) не имеет нетривиальных периодических решений с периодом ω (то есть все ее мультипликаторы отличны от единицы). Тогда система уравнений (8) имеет единственное периодическое решение с периодом ω.
Доказательство. Любое решение системы уравнений (8) может быть представлено в виде
(9)
где Z(t) — фундаментальная матрица системы уравнений (1). Выберем фундаментальную матрицу Z(t) так, чтобы было
Z(0) = E.
В этом случае формула (9) примет вид (при t0 = 0)
(10)
Потребуем, чтобы решение z (t) имело период ω:
z (t + ω ) = z (t). (11)
В частности, при t = 0
z ( ω ) = z (0). (12)
Оказывается, что если для некоторого решения z (t) выполнено условие (12), то оно имеет период ω. В самом деле, z (t + ω ) и z (t) — два решения системы уравнений (8), удовлетворяющие в силу (12) одному и тому же начальному условию при t = 0. В силу теоремы единственности эти решения тождественно совпадают, то есть имеет место соотношение (11). Таким образом, условие того, что решение z (t) имеет период ω, можно записать в виде (12). В силу формулы (10) соотношение (12) примет вид
(13)
По условию теоремы, все мультипликаторы системы (1) отличны от единицы. Поэтому çZ(w) - Eç ¹ 0 (характеристическое уравнение çZ(w) - ρEç = 0 не имеет корня ρ = 1) и система уравнений (13) однозначно разрешима отностильно z0. Теорема доказана.
Замечание. В случае, когда однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ω, линейная неоднородная система уравнений (8) может или вообще не иметь периодических решений с периодом ω (если система уравнений (13) несовместна), или иметь несколько линейно независимых периодических решений с периодом ω (если система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).
Примечания:
1. dj1 = {1;0; …;0}, …, djn = {0;0; …;1}.
2. Любое решение x(t) однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальной системы решений x1(t), …,xn(t).
3. Все выводы получаются следующим образом:
из Ż = F(t)Z и Z(t) = Ф(t)eAt следует то, что, подставляя второе выражение в первое, получим
Примеры:
Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладе теорем и следствий к ним:
Пример 1: Показать, что линейное уравнение второго порядка
где f(t) — непрерывная периодическая функция с периодом ω, имеет единственное периодическое решение с периодом ω, если
Решение.
Сведем дифференциальное уравнение к системе и применем теорему 2:
1. Имеем
2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составить матрицу монодромии однородной системы и все собственные значения этой матрицы должны быть отличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу для однородной системы, соответствующей неоднородной системе (*):
3. Находим мультипликаторы однородной системы:
Итак, если
все мультипликаторы системы уравнений (**) отличны от единицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, что система (*),а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственное периодическое решение с периодом ω.
Задача решена.
Пример 2: Показать, что линейное уравнение второго порядка
при a≠2πk/ ω (kÎR) имеет единственное периодическое решение с периодом ω (см. пример 1); при a=±2π/ω не имеет периодических решений с периодом ω, а при a=2πk/ ω (k — любое целое число, не равное ±1 и 0) все его решения — периодические с периодом ω.
Решение.
Очевидно, что здесь необходимо воспользоваться теоремой 2 и замечанием к ней. Решение данного примера необходимо разбить на 3 части (для каждого из условий). Поскольку при нахождении матрицы монодромии в предыдущем примере мы свободный член исходного дифференциального уравнения не использовали и учитывая одинаковые правые части дифференциальных уравнений обоих примеров, можно будет сразу воспользоваться некоторыми выкладками примера 1.
 |
Итак, матрица монодромии имеет следующий вид:
1.[ a≠2πk/ ω (kÎR) ] Как мы установили в примере 1, любое линейное уравнение вида при указанных ограничениях действительно имеет единственное периодическое решение с периодом ω.
2-3.[ a=±2π/ω; a=2πk/ ω (k — любое целое число, не равное ±1 и 0)]
При данных значениях а однородная система (**) из 1-го примера имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ω, тогда в соответствии с замечанием к теореме 2 линейная неоднородная система уравнений, соответствующая заданному дифференциальному уравнению, может или вообще не иметь периодических решений с периодом ω (для случая 2 необходимо установить несовместность системы уравнений (13)), или иметь несколько периодических решений с периодом ω (для случая 3 необходимо установить, что система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).
Сначала мы будем случаи 2 и 3 рассматривать совместно:
Система уравнений (13):
Неоднородная система, соответствующая заданному дифференциальному уравнению:
Далее решать систему будем отдельно для каждого заданного значения а:
если в системе (***) справа будет получена нулевая матрица, то она имеет множество решений, если нет – не имеет их вообще.
2. Подставляем в систему (***) a=±2π/ω:
3. Подставляем в систему (***) a=2πk/ ω (k — любое целое число, не равное ±1 и 0):
 |
Таким образом,система (13') имеет бесконечное множество решений для данных значений а Þ исходное дифференциальное уравнение имеет несколько линейно независимых периодических решений с периодом ω.
Замечание. Отдельно стоит рассмотреть случай, когда а=0 (этому случаю соответствует k=0, если a=2πk/ ω).
Если а=0, то матрицы, обратной фундаментальной матрице системы (**), не существует, отсюда сразу следует несовместность системы (13'), а значит исходное линейное уравнение второго порядка не имеет периодических решений.
Задача решена.
[1] 