СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Высшая математика»
Составители: Егорова Ю.Б.
Мамонов И.М.
Челпанов А.В.
МОСКВА 2009
Степенные ряды: Методические указания к практическим занятиямпо дисциплине «Высшая математика»/ Ю.Б. Егорова, И.М. Мамонов, А.В Челпанов. М.: МАТИ, 2009. – 20 с.
ÓЕгорова Ю.Б.,
Мамонов И.М.,
Челпанов А.В.,
составление, 2009
Ó МАТИ, 2009
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделений факультета № 14 специальностей 150601, 160301, 220301, 230102.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Степенным рядом, разложенным по степеням x, называется функциональный ряд вида:
(1)
или в сокращенном (свернутом) виде 
, где an – коэффициенты степенного ряда.
Степенным рядом, разложенным по степеням (x-a), называется функциональный ряд вида:
(2)
или в сокращенном (свернутом) виде 
, где а - константа.
Давая х числовые значения, ряды (1) и (2) становятся числовыми рядами, которые могут как сходиться, так и расходиться. Совокупность значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости.
2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ, РАЗЛОЖЕННЫЕ ПО СТЕПЕНЯМ х
Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при некотором х=х0, то он сходится абсолютно при всех х, для которых 
.
Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда, разложенного по степеням х, является интервал сходимости (- R; R) с центром в т. х =0.
Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно, вне интервала – расходится. На концах интервала ряд может, как сходиться, так и расходиться. Если R =0, то степенной ряд сходится только в одной точке х =0. Если R =∞, то ряд сходится при всех х.
|
|
Для отыскания радиуса и интервала сходимости необходимо сначала составить ряд из абсолютных величин (модулей) членов степенного ряда (1):
(3)
Теорема. Степенной ряд (1) сходится абсолютно, если сходится ряд (3), составленный из абсолютных величин (модулей) членов степенного ряда (1).
Ряд (3) – это ряд с положительными членами, поэтому для исследования его сходимости (определения радиуса и интервала сходимости) можно применять признаки сходимости рядов с положительными членами, например признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для нахождения радиуса сходимости можно также использовать следующие формулы:
, (4)
(5)
Пример 1. Исследовать сходимость ряда 
Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда: 
Найдем радиус сходимости по формуле (4):
Следовательно, интервал сходимости (-∞; +∞), т.е. данный ряд сходится при всех значениях х.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда 
Решение. Имеем коэффициент степенного ряда: 
Найдем радиус сходимости по формуле (5):
Следовательно, интервал сходимости (-2; 2). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
При х =2 получим ряд с положительными членами:
Для исследования его сходимости применим необходимый признак сходимости. Так как 
то ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости).
При х =-2 получим знакочередующийся ряд:
Для исследования его сходимости можно также применить необходимый признак сходимости. Так как 
то ряд расходится.
|
|
Таким образом, область сходимости степенного ряда 
Пример 3. Исследовать сходимость ряда 
Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда:
Найдем радиус сходимости по формуле (4):
Следовательно, интервал сходимости (-1; 1). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
При х =1 получим ряд с положительными членами (гармонический ряд) 
. Для исследования его сходимости можно применить интегральный признак сходимости Коши. Имеем:
Интеграл расходится, поэтому расходится и гармонический ряд.
При х =-1 получим знакочередующийся ряд: 
.
Для исследования его сходимости применим признак Лейбница. Все условия теоремы Лейбница выполнены:
1) члены ряда монотонно убывают (по модулю): 
;
2) общий член ряда (по модулю) стремится к нулю: 
Следовательно, ряд сходится. Причем этот ряд сходится условно, так как ряд из абсолютных величин членов данного ряда (гармонический ряд) расходится.
Таким образом, область сходимости степенного ряда 
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ, РАЗЛОЖЕННЫЕ ПО
СТЕПЕНЯМ (х-а)
Теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится при некотором х=х0, то он сходится абсолютно при всех х, для которых: 
.
Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда, разложенного по степеням (х-а), является интервал сходимости (а - R; R+а) с центром в т. х = а. Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно, вне интервала – расходится. На концах интервала ряд может как сходиться, так и расходиться. Если R =0, то степенной ряд сходится только в одной точке: в т. х = а. Если R =∞, то ряд сходится при всех х. Радиус и интервал сходимости находится аналогично рядам, разложенным по степеням х.
|
|
Пример 4. Исследовать сходимость ряда 
Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда:
Найдем радиус сходимости по формуле (4):
Ряд сходится только при х -5=0, т.е. только в точке х =5.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда 
Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда: 
Найдем радиус сходимости по формуле (4):
Следовательно, ряд сходится, если -1< x -2<1, т.е. интервал сходимости (1; 3). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
При х =3 получим ряд с положительными членами (ряд из обратных квадратов) 
.
Для исследования его сходимости можно применить интегральный признак сходимости Коши. Имеем:
Интеграл сходится (является конечной величиной), поэтому сходится и данный ряд.
При х =1 получим знакочередующийся ряд: 
Для исследования его сходимости применим признак Лейбница. Все условия теоремы Лейбница выполнены:
3) члены ряда монотонно убывают (по модулю): 
;
4) общий член ряда (по модулю) стремится к нулю: 
Следовательно, ряд сходится. Причем этот ряд сходится абсолютно, так как ряд из абсолютных величин членов данного ряда (ряд из обратных квадратов) сходится.
Таким образом, область сходимости степенного ряда [1; 3].