Существует несколько способов решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Рассмотрим сначала метод неопределенных коэффициентов, который применяется для решения линейных дифференциальных уравнений.
Пусть задано дифференциальное уравнение 1 порядка:
y '= F (x,y). (6)
Пусть общее решение этого уравнения y = φ (x,C) можно представить в виде степенного ряда:
, (7)
где С 1, С 2, С 3 …– коэффициенты степенного ряда, которые необходимо найти; С – постоянная интегрирования.
Для определения коэффициентов сначала находят производную от общего решения (7):
(8)
Затем (7) и (8) подставляют непосредственно в (6) и приравнивают коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях х. При этом коэффициенты С 1, С 2, С 3 …выражают через С. Найденные коэффициенты подставляют в (7) и получают искомое общее решение в виде степенного ряда, взяв 3-5 членов разложения.
Если заданы начальные условия у (х 0)= у 0, то можно найти постоянную С = С 0 (где С 0 – конкретное число) и получить частное решение y = φ (x,C 0) уравнения (6).
В случае дифференциального уравнения второго порядка поступают аналогичным образом.
Пример 11. Найти частное решение уравнения y '= x+y при начальном условии у (х =0)=1.
Решение. Запишем искомое решение в виде степенного ряда:
(9)
Подставляя начальное условие в общее решение (9), можно найти значение постоянной С =1. Тогда (9) принимает вид:
(10)
Найдем производную от равенства (10):
(11)
После постановки (10) и (11) в исходное уравнение получим:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
при х 0: С 1=1;
при х 1: 2 С 2=1+ С 1; С 2=1;
при х 2: 3 С 3= С 2; С 3=1/3;
при х 3: 4 С 4= С 3; 
Таким образом, получаем искомое частное решение:
Пример 12. Найти частное решение уравнения y ''= x+y при начальных условиях у (х =0)=1, у' (х =0)=1.
Решение. Запишем искомое решение в виде степенного ряда:
(12)
Подставляя первое начальное условие у (х =0)=1 в общее решение (12), можно найти значение постоянной С =1.
Найдем первую производную от общего решения (12):
(13)
Подставляя второе начальное условие у' (х =0)=1 в (13), можно найти значение постоянной С1 =1.
Найдем вторую производную от общего решения:
(14)
После постановки (12) и (14) в исходное уравнение получим:
или с учетом того, что С =1 и С1 =1:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
при х 0: 2 С 2=1; C2=1/2;
при х 1: 2·3 С 3=2; 
при х 2: 3·4 С 4= С 2; 
Таким образом, получаем искомое частное решение:
Теперь рассмотрим метод последовательного дифференцирования. Пусть задано дифференциальное уравнение 1 порядка (6) и начальные условия у(х=0)=у0. Частное решение этого уравнения y = φ (x) можно представить в виде ряда Маклорена:
Найдем коэффициенты этого ряда. Для этого необходимо определить значения функции f(x) и ее производных при х =0:
1) f( 0 ) находят из начальных условий f( 0 )= у(х=0)=у0;
2) f'( 0 ) можно найти из заданного уравнения (6):
f'( 0 ) = y '(0)= F (x =0 ,y = у0);
3) следующие производные находят путем последовательного дифференцирования уравнения (6).
Аналогично поступают и в случае дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков.
Пример 13. Найти частное решение уравнения y '= x 2 +y 2 в виде ряда Маклорена при начальном условии у (х =0)=1 (взять четыре первых членов разложения).
Решение. Из уравнения и начальных условий находим:
f( 0 )= у(х=0)= 1; f'( 0 ) = y '(0)=02 + 12=1.
Дифференцируя заданное уравнение, последовательно получаем: y ''=(x 2 +y 2)'=2 х +2 уу '; y '''=(2 х +2 уу ')'=2+2 у ' у '+2 уу ''.
Полагая х =0 и используя значения у(0)= 1 и y '(0) =1, находим:
y ''=2·0+2·1·1=2 и y '''=2+2·1·1+2·1·2=8.
Тогда искомое решение имеет вид:
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение степенного ряда, разложенного по степеням х.
2. Дайте определение области сходимости степенного ряда, разложенного по степеням х.
3. Как можно найти радиус и интервал сходимости степенного ряда, разложенного по степеням х?
4. Дайте определение степенного ряда, разложенного по степеням (х-а).
5. Дайте определение области сходимости степенного ряда, разложенного по степеням (х-а).
6. Как можно найти радиус и интервал сходимости степенного ряда, разложенного по степеням (х-а)?
7. Перечислите основные свойства степенных рядов.
8. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
9. Приложения степенных рядов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мантуров О.В. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1991. - 448 с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. - М.: Высш. шк., 1980. - 365 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2 – М.: Наука, 1972. - 312 с.
4. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. /Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Высш. шк., 1972. - 472 с.
5. Сборник задач по курсу высшей математики. /Под ред. Г.И.Кручковича. - М.: Высш. шк., 1973. - 576 с.
6. Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для вузов. – М.: Наука, 1989. - 736 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение………………………………………………………………..3
1. Основные понятия…..………………………………………..……...3
2. Степенные ряды, разложенные по степеням х. ………………… 3
3. Степенные ряды, разложенные по степеням (х - а)………………...7
4. Свойства степенных рядов …………………………………….…...9
5. Разложение функций в степенные ряды…………………………. 10
6. Приложения степенных рядов ………………………………….....11
Контрольные вопросы……………………………………………...18
Литература…………………………………………………………. 19
Юлия Борисовна Егорова
Игорь Михайлович Мамонов
Александр Витальевич Челпанов
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Высшая математика»
Редактор М.А. Соколова
Подп. в печать 31.03.09 Уч.-изд.л. - 0,87. Тираж 50 экз. Зак. №40
Издательский центр МАТИ
109240, Москва, Берниковская наб., 14
* В круглых или квадратных скобках указан интервал сходимости данного ряда. Разложение функций в ряд Маклорена справедливо только для х, при которых ряд сходится.