Теорема сложения вероятностей совместимых событий.

Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (6)

Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий kблагоприятствуют событию А, l – событию B и m – одновременно событиям А и B. Отсюда событию А + Вблагопри­ятствуют k + l – mэлементарных событий. Тогда

Замечание. Если события A и Внесовместимы, то их произведение ABесть невозможное событие, и, следовательно, Р (АВ) = 0, т. е. формула (1) является частным случаем формулы (6).

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны Р(А) = 0,7 и Р(В) = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение: Очевидно, события А и В совместимы и независимы. Поэтому
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,7 ∙ 0,8 = 0,94.
Пример 2. Два стрелка стреляют в одну и ту же цель, причем вероятность поражения цели первым стрелком 0,8, а вторым стрелком 0,5. Оба стрелка стреляют по команде (т.е. одновременно) один раз. Какова вероятность, что цель будет поражена хотя бы одним из стрелков?

Решение: Пусть А – попадание в цель первым стрелком, В – вторым стрелком, А + В – поражение цели хотя бы одним стрелком.
События А и В совместимы и независимы. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,8 + 0,5 – 0,8 ∙ 0,5 = 0,9.

4. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может произойти лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий B₁, B₂,..., В_n,образующих полную группу событий. События
B₁, B₂,..., В_n,будем называть гипотезами для события А. Тогда

Это формула полной вероятности.

В самом деле, событие А может наступить только при усло­вии наступления одного из событий B₁, B₂,..., В_n,т. е.

А = В₁А + В₂А + ... + В_nА,

причем, ввиду несовместимости событий B₁, B₂,..., В_n,, события B₁A, В₂А,..., В_nА также несовместимы. Поэтому на основании те­орем сложения и умножения вероятностей имеем:

Пример. В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик, относительные доли которых есть: I – 50 %, II – 30 %, III – 20 %. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: I – 2 %, II – 3 %, III – 5 %. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине, окажется доброкачественным (событие А)?
Решение: Возможны следующие три гипотезы: Н₁, Н₂, Н₃ – приобретенная вещь выработана соответственно на I, II, и III фабриках; очевидно, система этих гипотез полная, причем их вероятности Р(Н₁) = 0,5, Р(Н₂) = 0,3, Р(Н₃) = 0,2.
Соответствующие условные вероятности события А равны
Р_Н1(А) = 1 – 0,02 = 0,98, Р_Н2(А) = 1 – 0,03 = 0,97, Р_Н3(А) = 1 – 0,05 = 0,95.
По формуле полной вероятности имеем Р(А) = 0,5 ∙ 0,98 + 0,3 ∙ 0,97 + 0,2 ∙ 0,95 = 0,971.

Формула Байеса.

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) вероятности гипотез, т. е. величины P(B_k), k = 1,..., n?
Найдем условную вероятность P_A(B_k).
По теореме умножения вероятностей и формуле (4) имеем

Отсюда

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим:

Выше обозначенные формулы называются формулами Байеса (Томас Байес, или Бейес, (1702-1761) –английский математик).

Пример. Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного расчета (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие В) – 0,1. Каждое из орудий производит по одному выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в самолет (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчету?
Решение. До опыта возможны четыре гипотезы
Н₁ = АВ, Н₂ = А^ØВ, Н₃ = ^ØАВ, Н₄ = ^ØА^ØВ;
эти гипотезы образуют полную группу событий.
Вероятности их, при независимом действии расчетов, соответственно равны
Р(Н₁) = 0,2 ∙ 0,1 = 0,02, Р(Н₂) = 0,2 ∙ 0,9, Р(Н₃) = 0,8 ∙ 0,1 = 0,08, Р(Н₄) = 0,8 ∙ 0,9 = 0,72,
причем Р(Н₁) + Р(Н₂) + Р(Н₃) + Р(Н₄) = 1.
Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут
Р_Н1(С) = 0, Р_Н2(С) = 1, Р_Н3(С) = 1, Р_Н4(С) = 0.
Следовательно, гипотезы Н₁ и Н₄ отпадают; а вероятности гипотез Н₂ и Н₃ вычисляются по формуле Байеса

Задание: Установите соответствие между основными понятиями теории множеств и теории вероятностей ((заполните второй столбик).

Ответ:

Семинарское занятие № 6