Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайного события? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту возможность некоторым числом?
Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов – результатов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.
Определение. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.
Приведем примеры полных групп событий: выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и промах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти, шести очков при одном бросании игральной кости.
Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий U1, U2,..., Un, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании осуществление каждого из событий U1, U2,..., Unравновозможно, т. е. условия испытания не создают преимущества в появлении какого-либо события перед другими возможными.
Определение. События U1, U2,..., Un,образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.
Пример 1. Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть Ui–событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой i. Как уже отмечалось, события U1, U2,..., U6 образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то события U1, U2,..., U6 являются и равновозможными, т. е. являются элементарными.
Определение. Событие А называется благоприятствующим событию В,если наступление события А влечет за собой наступление события В.
Пример 2. Пусть при бросании игральной кости события U2, U4, U6 – появление соответственно двух, четырех, шести очков и А – событие, состоящее в появлении четного очка; события U2, U4, U6 благоприятствуют событию А.
Вероятность события А – число Р(А), характеризующее возможность появления этого события.
Определение (классическое определение вероятности). Вероятностью Р(А) события А называется отношение m / n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Р(А) = m /n.
Пример 3. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие А– выпадение герба – и событие В– выпадение цифры – образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь n = 2. Событию A благоприятствует лишь одно событие – само А, т. е. здесь m = 1. Поэтому Р (А) = 1/2.
Пример 4. Очевидно, что в опыте с игральной костью (пример 1) P(Ui) = 1/6, i = l,...,6.
Пример 5. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие A).
Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 или 6). Поэтому Р (А) = 3/6 = 1/2.
Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.
1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т. е. m = n, и, следова-тельно, P (A) = m / n = n / n = 1.
2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т. е. т = 0, откуда P (A) = m / n = 0 / n = 0.
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа nэлементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < m / n <1. Следовательно, 0 < Р(А) <1.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 £ Р(А) £ 1.
Упражнения для фронтального контроля:
1. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:
| Цвет волос | брюнеты | шатены | рыжие | блондины | Всего |
| Число людей |
Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет:
1. шатеном, 2. рыжим, 3. не рыжим.
2. В пакете лежат 20 зелёных и 10 жёлтых груш.
2.1. Какова вероятность вынуть из пакета грушу?
2.2. Какова вероятность вынуть из пакета яблоко?
2.3. Какова вероятность вынуть из пакета жёлтую грушу?
3. В мешке 7 красных и 10 зелёных яблок. Какое наименьшее количество яблок нужно вынуть, не заглядывая в мешок, чтобы с вероятностью, равной 1, среди вынутых было хотя бы одно красное яблоко?
4. На экзамене – 24 билета. Андрей не разобрался в одном билете и очень боится его вытянуть. Какова вероятность, что Андрею достанется несчастливый билет? (1/24)
5. В лотерее 10 выигрышных билетов и 240 без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет? (1/250)
6. В лотерее участвуют 300 билетов с номерами от001 до 300, один билет выигрывает. Наугад вынули один билет и решили, что он будет выигрышный. Какова вероятность того, что номер выигрышного билета заканчивается цифрой 5?
7. Решение: каждая из десяти цифр может с равной вероятностью оказаться последней в номере выигрышного билета. Поэтому вероятность того, что номер заканчивается цифрой 5, равна… (1/10)
8. В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность проигрыша?
9. На вопрос телевикторины было получено 1250 открыток с правильными ответами, в том числе и ваша. Для определения призёра ведущий должен наугад вытащить одну открытку. Какова вероятность того, что приз достанется вам?
10. На скамейку произвольным образом садятся двое мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?
11. Грани кубика окрашены в красный и жёлтый цвет. Вероятность выпадения красной грани равна 1/6, вероятность выпадения жёлтой грани равна 5/6. Сколько красных и жёлтых граней у кубика?
12. В ящике лежат 8 красных, 2 синих и 20 зелёных карандашей. Вы наугад вынимаете карандаш. Какова вероятность того, что это красный карандаш? Жёлтый карандаш? Не зелёный карандаш? Какое наименьшее количество карандашей нужно вынуть, чтобы с вероятностью, равной 1, среди них был зелёный карандаш?
13. Бросаются одновременно два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков будет равна 12?
14. У Юры в коробке 25 белых и 50 красных шаров, у Наташи в коробке 40 белых и 80 красных шаров. Они играют в игру, победителем которой становится тот, кто первым, не глядя, вынет белый шар из своей коробки. Если они вынимают белый шар одновременно – ничья. Юра считает, что эта игра несправедливая, т.к. у него в коробке меньше белых шаров. Согласны ли вы с Юрой? Поясните свой ответ.
15. Женя купил булочку с изюмом, но изюма в ней не оказалось. Стоит ли Жене подавать в суд на хлебопекарный завод?
16. В магазине подсчитали, что обычно из тысячи телевизоров оказывается 2 бракованных. Какова вероятность того, что телевизор, выбранный наугад в этом магазине, будет бракованным?
17. В сумке лежат 12 красных, 10 зелёных и 3 жёлтых яблока. Какое яблоко вероятнее всего вынуть наугад из сумки? Какова вероятность вынуть наугад яблоко? Грушу? Зелёное яблоко? Не красное яблоко?
18. Вы выигрываете, если шар, вынутый наугад из коробки, – белый. Какую из коробок выгоднее выбрать для игры, чтобы вероятность выигрыша была больше:
18.1. в коробке 15 белых шаров из 45,
18.2. в коробке 40 белых шаров из 120,
18.3. в коробке 22 белых шара и 44 красных,
18.4. в коробке поровну белых, красных и чёрных шаров.
19. В ящике 5 белых и 5 чёрных шаров. Наудачу выбирают 6 шаров.
19.1. Определите вероятность события А – все выбранные шары чёрные.
19.2. Определите вероятность события В – среди выбранных шаров есть чёрный.
19.3. Определите, какие из следующих событий являются достоверными:
19.3.1. Д – Среди выбранных шаров есть по крайней мере три одного цвета.
19.3.2. С – Среди выбранных шаров есть по крайней мере четыре одного цвета.
19.4. Какое наименьшее число шаров надо взять из этого ящика, чтобы вероятность того, что среди выбранных есть три шара черного цвета, была равна 1?
20. В ящике лежит 6 красных и 6 синих шаров. Наудачу выбирают 8 шаров.
20.1. Определите вероятность события А – все выбранные шары красные.
20.2. Определите вероятность события В – среди выбранных шаров есть красный.
20.3. Определите, какое из следующих событий является достоверным:
20.3.1. С – среди выбранных шаров есть по крайней мере четыре одного цвета.
20.3.2. Д – среди выбранных шаров есть по крайней мере пять одного цвета.
20.4. Какое наименьшее число шаров надо взять из этого ящика, чтобы вероятность того, что среди выбранных есть четыре шара синего цвета, была равна 1?
21. В группе 12 юношей, шестерых из них зовут Серёжами, четверых – Алёшами, а остальных – Сашами. Новый преподаватель, ещё не знающий имён студентов, вызывает ответить на семинаре.
21.1. Вызывается один молодой человек. Какова вероятность того, что вызванного зовут Сергей?
21.2. Вызывается один молодой человек. Какова вероятность того, что вызванного зовут Алексей?
21.3. Какое наименьшее количество молодых людей нужно вызвать, чтобы с вероятностью, равной 1, среди них был Саша?
22. В группе 15 девушек, восьмерых из них зовут Ленами, пятерых – Анями, а остальных – Наташами. Новый преподаватель, ещё не знающий имён студентов, вызывает ответить на семинаре.
22.1. Вызывается одна девушка. Какова вероятность того, что вызванную зовут Наталья?
22.2. Вызывается одна девушка. Какова вероятность того, что вызванную зовут Елена?
22.3. Какое наименьшее количество девушек нужно вызвать, чтобы с вероятностью, равной 1, среди них была Аня?
Упражнения.
1. Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что:
а) герб выпадет хотя бы один раз? б) герб выпадет два раза?
Решение. а) Пусть А – событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал хотя бы один раз.
Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР, т.е. n = 4. Событию А благоприятствуют исходы: ГГ, ГР, РГ, т.е. m = 3.
Следовательно, Р(А) = m/n = ¾.
б) Пусть В – событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал два раза.
Событию В благоприятствует один исход: ГГ, т.е. m = 1.
Следовательно, Р(В) = m/n = ¼.
2. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)?
Решение. Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары (x, y), где x и y принимают значения: 1,2,3,4,5,6. Таким образом, общее число элементарных исходов равно n = 6 ∙ 6 = 36.
Событию А благоприятствуют пары (1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1), число которых равно 5, следовательно, m = 5.
Таким образом, Р(А) = m/n = 5/36.