IX. ДЛИННЫЕ ЛИНИИ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ
Основные вопросы
Параметры длинной линии, их физический смысл. Связь между первичными и вторичными параметрами.
Уравнения длинной линии в установившемся режиме.
Линия без потерь. Стоячие волны.
Линия без искажения.
Линия, согласованная с нагрузкой.
Линия как четырехполюсник.
Литература
1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А.., Нетушил А.В., Страхов С. В. Основы теории цепей. – М.: Госэнергоиздат, 1975. – § 18.1 – 18.13.
2. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. – М.: Энергия, 1967. – Т. 1. – § 16.1 – 16.8.
Примеры
Задача 1
Первичные параметры двухпроводной линии r 0=38,4 Ом /км; g 0 =0,05·10–6 Сим/км; L 0= 88,4·10–4 Гн/км; C0= 5,12·10–9 Ф/км. Длина линии ℓ = 38 км. На вход линии подано напряжение U 1 = 10 В при частоте f = 800 Гц. Линия нагружена на сопротивление 
Ом.
Определить напряжение и ток в нагрузке, ток в начале линии, входное сопротивление нагруженной линии, мощность, расходуемую в нагрузке и подводимую к линии, и КПД.
Решение
1. Вторичные параметры линии при частоте f = 800 Гц:
волновое сопротивление:
;
коэффициент распространения:
Таким образом, коэффициент затухания a = 13,5∙10–3 Нп/км, коэффициент фазы b = 36,8·10–3 рад/км.
2. Искомые напряжение на нагрузке и ток в начале линии целесообразно определять по уравнениям длинной линии в форме «вход – выход» (связывающими входные величины U 1 и I 1 с выходными величинами U 2 и I 2):
(1)
(2)
В уравнениях (1) и (2) учтено, что ток 
.
Из уравнения (1) получим
мА.
Из уравнения (2) следует
В.
Здесь
g l = (a+ j b) l = (13,5∙10–3+ j 36,8·10–3)∙38 = 0,51+ j 1,4;
sh g l = sh(a l + j b l) = sha l ·cosb l + j cha l ∙sinb l = sh0,51· cos1,4 + + j ch0,51∙ sin1,4 = 
;
ch g l = ch (a l + j b l) = cha l ×cosb l + j sha l ∙ sinb l = ch 0,51·cos1,4 + + j sh0,51∙ sin1,4 = 
.
3. Входное сопротивление линии:
Ом.
4. Определение активной мощности на входе и выходе линии:
активная мощность на входе линии:
мВт;
мощность, расходуемая в нагрузке:
мВт.
Здесь I 2 – ток в нагрузке:
.
5. КПД линии:
.
Задача 2
Первичные параметры линии без потерь: C 0 = 33,5·10–9 Ф/км; L 0 = 310–3 Гн/км; длина линии ℓ = 67,5 км; напряжение в начале линии u 1(t) = 141sin(w t+ 23º)В; частота напряжения f =1670 Гц. Линия нагружена на сопротивление R H =600 Ом.
Определить ток вначале линии i 1(t).
Решение
Для расчета тока в начале линии целесообразно воспользоваться уравнениями длинной линии в форме «вход – выход» (при этом необходимо иметь в виду, что для линии без потерь гиперболические функции ( sh g l и ch g l) вырождаются в круговые функции (j sinβ l и cosb l)):
U 1= U 2cosb l + j Z c I 2sinβ l; (1)
. (2)
В уравнениях (1) и (2) Z c – волновое сопротивление линии:
Ом;
b – коэффициент фазы:
рад/км.
С учетом того, что 
, уравнения (1) и (2)могут быть приведены к виду:
; (3)
. (4)
Из уравнений (3) и (4) следует:
. (5)
С учетом того, что sinb l = sin(0,1049∙67,5) = 0,708; cosb l= = cos(0,1049∙67,5) = 0,708, соотношение (5) принимает вид:
А.
В результате, мгновенное значение тока на входе линии определится выражением:
А.
Задача 3
Воздушная линия без потерь (волновое сопротивление Z c= = 500 Ом) работает при частоте f =108 Гц. В режиме холостого хода амплитуда напряжение на конце линии U 2m=100 В.
Определить амплитуду тока в точке, находящейся на расстоянии l =1,0 м от конца линии.
Решение
Комплексные значения амплитуд напряжения и тока в произвольной точке линии (с координатой y от ее конца) связаны с комплексами амплитуд напряжения и тока на выходе линии следующими уравнениями:
; (1)
. (2)
В режиме холостого хода I 2= 0. Для этого режима уравнения (1) и (2) принимают вид:
; (3)
. (4)
Из уравнения (4) для точки с координатой y = 1м следует:
А.
Примечание
Начальная фаза напряжения на выходе линии принята равной нулю.
Коэффициент фазы b определяется из соотношения 
, где l – длина волны.
Для линии без потерь фазовая скорость равна скорости света v = c 0 = 3·108 м/с, поэтому, для рассматриваемой линии
м
и, как результат, 
рад/м.
Задача 4
Воздушная линия длиной ℓ = 50км нагружена на волновое сопротивление Z c. Коэффициент затухания a = 0,0046 Нп/км; коэффициент фазы b = 0,0181 рад/км.
Рассчитать и построить кривую изменения действующих значений напряжения вдоль линии, если в начале линии U 1 = 10кВ.
Решение
В режиме согласованной нагрузки (Z н = Z c) напряжение и ток в произвольной точке, находящейся на расстоянии y от конца линии, определяются уравнениями:
; (1)
. (2)
Из уравнения (1) при y = l следует: U 1 = U 2 e g l, откуда
U 2 = U 1 e– g l. (3)
С учетом (3) соотношение (1) приобретает вид:
U = U 1 e– g le g y= U 1 e g (y – l) = U 1 e a(y – l) ej b(y – l). (4)
Из (4) следует, что распределение действующего значения напряжения вдоль линии определяется выражением:
U (y) = U 1 e a(y – l) = 104· e 0,0046(y –50) В.
Результаты расчета для различных расстояний y представлены в таблице; зависимость U (y) изображена на рисунке.
| y,км | y –50, км | e α( y–l) | U (y), В |
| –50 | 1,259 | ||
| –40 | 1,2 | ||
| –30 | 1,15 | ||
| –20 | 1,098 | ||
| –10 | 1,05 |
Задача 5
Воздушная линия без потерь (Z c = 300 Ом) нагружена на индуктивность L 2 = 2 мГн. Длина волны 
Определить u (y, t), i (y, t); найти координаты ближайших от конца линии точек, в которых имеют место максимумы напряжения и тока.
Решение
Уравнения линии без потерь с учетом того, что 
,
; (1)
, (2)
где y – расстояние от конца линии.
Если обозначить
, (3)
то уравнения (1) и (2) могут быть преобразованы в выражения:
; (4)
. (5)
Если принять начальную фазу выходного напряжения равной нулю, т.е. U 2 = U 2, то (с учетом индуктивного характера нагрузки) I 2 = – jI 2 = 
. При вышепринятых допущениях выражения для мгновенных значений напряжения и тока принимают вид:
; (6)
(7)
где
; 
.
Соотношения (6) и (7) являются уравнениями стоячих волн.
Для точек линий, в которых имеют место пучность напряжения, справедливо тождество 
, откуда cos ( β y – σ )= 1; β y - σ =2 n π, где n = 0,1,2….
Координата ближайшей от конца линии пучности напряжения (при n = 0)
.
Для точек линии, в которых наблюдаются пучности тока, I m sin(β y -σ) = I m. . Следовательно,
sin (β y -σ) = 1, и, как результат, 
.
Координата ближайшей от конца линии пучности тока (при n = 0)
.
Как следует из соотношения (3),
,
где (см. задачу 3)
w = v b = c 0b = 
= 3·108∙ 
= 3,14·107 1/с.
В результате, координаты ближайших от конца линии пучностей напряжения и тока будут иметь значения:
м;
м.
Задача 6
Входное сопротивление кабельной линии в режиме холостого хода Z xx = 
Ом, в режиме короткого замыкания Z кз = = 
Ом. Линия работает при частоте f = 800Гц, длина линии l =10 км.
Определить постоянные A, B, C, D эквивалентного линии четырехполюсника и параметры его Т-образной схемы замещения.
Решение
Определение коэффициентов четырехполюсника, эквивалентного рассматриваемой линии. Напряжение U 1 и ток I 1 в начале линии при заданных U 2 и I 2 в конце линии определяются уравнениями:
(1)
Основные уравнения четырехполюсника:
(2)
Из сопоставления систем уравнений (1) и (2) получим
A = D = ch γ l;(3)
B = Z csh γ l;(4)
. (5)
Для линии в режимах холостого хода и короткого замыкания из уравнений (1) и (2)
; 
.
Из вышеприведенных соотношений следует:
(6)
(7)
Из (7) вытекает
(8)
Из (3) – (5), с учетом (6) – (8), следует:
Ом;
Сим.
Параметры Т-образной схемы замещения четырехполюсника (см. рисунок), эквивалентного рассматриваемой линии,
Ом;
Y = 
Сим.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 7
Воздушная линия без потерь при частоте w = 105 с–1имеет волновое сопротивление Z c = 600 Ом.
Определить первичные параметры линии.
Ответ: C o = 5,5∙10–9 Ф/км; L 0 = 2·10–3 Гн/км.
Задача 8
Линия без потерь длиной ℓ = λ /8 (λ – длина волны)имеет волновое сопротивление Z c.
Определить входное сопротивление линии в режимах холостого хода и короткого замыкания.
Ответ: Z xx =–j Z c; Z кз = j Z c.
X. Переходные процессы в длинных линиях
Основные вопросы
Падающая и отраженная волны в длинной линии в переходном режиме.
Закон Ома для падающей и отраженной волн.
Использование схем замещения при анализе переходных процессов в нагрузке линии.
Литература
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. – М.: Энергия, 1966. – Т. 1. – § 17.1 – 17.10.
2. Зевеке Г.В., Ионкин П.А.., Нетушил А.В., Страхов С. В. Основы теории цепей. – М.: Госэнергоиздат, 1975. – § 19.1 – 19.6.
Примеры
Задача 1
Линия, нагруженная на активное сопротивление r = 100 Ом, подключается к источнику постоянного напряжения U0= 6,6кВ. Длина линии ℓ = 90км; волновое сопротивление Z c = 500 Ом; скорость распространения волны с 0 = 3·105 км/с.
Определить напряжение и ток в середине линии спустя t α = 0,5·10–3 с после включения линии, построить графики изменения напряжения и тока вдоль линии для этого момента времени.
Решение
Время прохождения волны вдоль всей линии:
с.
Следовательно, к моменту времени t α = 0,5·10–3 сволны напряжения и тока достигнут конца линии и отразятся от сопротивления r.
Расстояние, пройденное отраженными волнами напряжения и тока за время
t 2 = t 1 – t α = 0,5·10–3 – 0,3∙10–3 = 0,2∙10–3 с,
(l – x) = c 0 t2 = 3×105× 0,2∙10–3 = 60 км.
Здесь x – расстояние, отсчитываемое от начала линии.
Таким образом, отраженные волны пройдут вдоль линии от конца в направлении к источнику 2/3 ее длины. На этом участке линии (в том числе и в ее середине) напряжение и ток представляют собой алгебраическую сумму падающей и отраженной волн. На участке 0 ≤ x ≤ 1/3 ℓ имеют место толькопадающие волны.
Определение отраженных волн напряжения и тока. С этой целью представим напряжение u H и ток i H в конце линии в виде суммы падающей и отраженной волн
u H = u пад + u отр;(1)
i H = i пад + i отр. (2)
На основании закона Ома
; (3)
. (4)
Подставим (3) и (4) в (2), получим
i H Z c = u пад – u отр. (5)
Напряжение на нагрузке r
u H = i H r. (6)
Суммируя (1) и (5) с учетом (6), получим
2 u пад = u H + i H Z c = (r+Z c )i H.(7)
Уравнению (7) в переходном режиме соответствует схема (рис. а). Так как полученная схемасодержит только активные элементы, то в переходном режиме ток
(8)
и напряжение в конце линии (на сопротивлении r)
.(9)
С учетом (9) из (1), (3) и (4) получим
кВ;
А;
А,
где u пад = U 0 = 6,6 кВ.
Таким образом, на участке 1/3 ℓ ≤ x £ ℓ напряжение и ток в линии в момент времени t α = 0,5∙10–3 с
u = u пад +u отр = 6,6 - 4,4=2,2 кВ; i = i пад +i отр = 13,2 + 8,8 = 22 А,
на участке 0 ≤ x ≤ 1/3 ℓ u= u пад = 6,6 кВ, i= i пад = 13,2 А.
Графики изменения u (x)и i (x)для момента времени t α = 0,5·10–3 с представлены на рис. б.
Задача 2
Кабельная линия длиной l = 20 км с волновым сопротивлением Z c = 50 Ом, нагруженная на сопротивление r 2 = 100 Ом и индуктивность L 2 = 25 мГн, подключается к источнику постоянного напряжения U 0 = 30кВ. Скорость распространения волны с= 1,5∙105 км/с.
Определить ток и напряжение на зажимах приемника в момент времени, когда отраженная волна пройдет 
длины линии, а также определить и построить u (x) и i (x)для этого момента времени.
Решение
Время, в течение которого отраженная от нагрузки волна пройдет 3/4 длины линии,
t 1 = 
Напряжение и ток в нагрузке целесообразно отыскивать с помощью схемы замещения, представленной на рис. а. Коммутация в схеме происходит в момент времени t = 0 (время прихода падающей волны к нагрузке): u пад = U 0 = 30 кВ.
Переходный процесс в данной схеме может быть рассчитан любым из методов расчета переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами, например, операторным методом.
Изображение тока в нагрузке
где
.
Оригинал тока
(1)
Напряжение на нагрузке
(2)
Напряжение и ток в нагрузке в момент времени t 1=0,1·10–3 c
u H(t 1) = 20(2+ e – 6000 t 1) = 20 
= 50,976 кВ;
i H(t 1) = 400 ( 1- e – 6000 t 1 )= 400 
= 180 A.
Отраженные волны напряжения и тока в конце линии определяются из соотношений
(3)
(4)
где
А.
Из (3) и (4) получим
кВ;
А.
Таким образом, отраженные волны напряжения и тока в любой момент времени в любой точке линии с координатой y, отсчитываемой от конца линии, определятся соотношениями:
кВ;
А.
В момент времени t 1=0,1·10–3 с
(5)
(6)
Изменение результирующего напряжения и тока вдоль линии в момент времени t 1=0,1·10–3 с учетом (5) и (6):
а) для точек, находящихся от конца линии на расстоянии 
,
кВ;
А;
б) для точек, находящихся на расстоянии 
от конца линии, 
Распределение результирующего напряжения и тока вдоль линии для момента времени t 1=0,1·10–3 с представлено на рис. б.
Задача 3
Вдоль воздушной линии (рис. а) с волновым сопротивлением 
Ом распространяется прямоугольная волна u пад1 = U 0 = = 110 кВ, а затем переходит в отрезок разомкнутого на конце кабеля (с волновым сопротивлением 
Ом) длиной ℓ 2 = = 50м. Скорость распространения волны в кабеле с = 1,5·108 м/с.
В месте стыка линий включен конденсатор емкостью
С = 5·10–3 мкФ.
Найти распределение тока и напряжения вдоль отрезка кабеля для момента времени t 1 = 5·10–7 с после прихода падающей волнык месту соединения воздушной линии и кабеля.
Решение
В момент подхода падающей волнык стыку линий (t = 0)в этом месте возникают:
отраженная волна (u отр1),направленная вдоль воздушной линии от места стыка к началу первой линии;
преломленная волна u пад2,направленная вдоль кабеля от места стыка к разомкнутому концу кабеля.
За время t 1=5·10 –7 с бегущая волна в кабеле проделает путь ℓ1 = = сt 1 = 1,5·108·5·10–7 = 75 м.
Следовательно, преломленная волна u пад2, являющаяся по сути падающей волной в пределах кабеля, пройдет весь кабель длиной ℓ2 = 50 м и отразится от его конца. К моменту времени t1 = 5·10 –7с отраженная волна u отр2 дойдет до середины кабеля. Таким образом, расчет состоит из двух этапов:
определение преломленной волны u пад2,;
определение u отр2.
1. Преломленная волна u пад2может быть найдена по схеме (рис. б), соответствующей времени, когда в месте соединения линий отсутствуют волны, отраженные от конца кабеля, т.е. u2 = = u пад2; i 2, = i пад2. Расчет проводится операторным методом.
Операторное изображение тока преломленной волны:
,
где
с–1.
Оригинал тока:
(1)
Напряжение преломленной волны:
(2)
Пространственно-временные соотношения для преломленных волн напряжения и тока вытекают из соотношений (1) и (2) посредством замены t на 
:
(3)
А. (4)
2. Определение отраженных волн напряжения и тока на конце кабельной линии (x = l 2). С учетом того, что кабельная линия разомкнута, в момент времени подхода преломленной волны к концу кабельной линии (t 1 = 5·10–7c) на конце линии
(5)
(6)
Соотношения (5) и (6) позволяют оценить отраженные волны с учетом их движения в направлении к месту соединения линий:
u отр2(y) = 
кВ; (7)
i отр2(y) = 
, (8)
где y = (l 2 – x) – расстояние, отсчитываемое от конца кабельной лини в направлении к стыку линий.
3. Распределение напряжения и тока вдоль кабеля для
t1 =5 10 –7 с:
в точках кабельной линии с координатой 
(х – расстояние от места соединения линий) существуют только падающие волны напряжения и тока u2 = u пад2 и i2,= i пад2.
Поэтому для рассматриваемого момента времени t 1из (3) и (4) следует:
кВ; (9)
А; (10)
в точках кабельной линии с координатами ℓ 2/2 ≤ x ≤ ℓ 2:
u 2 = u пад2 + u отр2; (11)
i 2 = i пад2 + i отр2.(12)
Подставив (7) – (10) в (11) и (12), получим распределение напряжения и тока в кабельной линии для рассматриваемого момента времени t 1:
кВ;
А.
Задача 4
Питание приемника (рис. а) осуществляется по воздушной линии длиной ℓ= 120 км. Напряжение источника U 0= 110 кВ; волновое сопротивление линии Z c = 500 Ом; скорость распространения волны в кабеле с = 3·105 км/с. Параметры приемника: R = 200 Ом; r = 100 Ом; L = 0,1 Гн; C = 5мкФ.
Определить напряжение и ток в середине линии через t1= = 0,4·10–3с после отключения рубильника, а также закон изменения напряжения и тока вдоль линии.
Решение
До размыкания рубильника цепь (рис. а) находилась в установившемся режиме постоянного тока. Поскольку рассматриваемая линия является линией без потерь (Z c = Z c = 500 Ом), напряжение U 0 на входе линии было непосредственно приложено к зажимам нагрузки. До коммутации постоянный ток I 0 протекал лишь по резистору R: 
= 550А.
В ветви r, L, C тока не было из-за наличия в ней конденсатора. С момента размыкания рубильника (t = 0) от конца линии к ее началу начнет перемещаться обратная волна тока i оби напряжения u об = Z c i об, а также начнется процесс заряда конденсатора в ветви r, L, C.
Напряжение и ток в линии могут быть определены наложением двух режимов: установившегося режима до коммутации и переходного режима.
· Режим до коммутации:
u пад= U 0 = 110 кВ; i пад= 
= 220 А.
· Расчет переходного режима выполним по схеме замещения (рис. б), являющейся результатом приведения цепи к нулевым начальным условиям. В рассматриваемой схеме замещения I 0 = 550 А – ток, протекавший в ветви с R до размыкания рубильника. (Сопротивление R в рассматриваемой цепи не учитывается, поскольку в ветвь с указанным резистором включен источник тока).
Используем операторный метод:
Определим корни характеристического уравнения F 2 (p) = 0:
p (p 2 LC + (Z c + r) pC +1) = 0; p 1= 0; 
;
P 2 = -5640 c–1; P 3 = -360 c–1.
По теореме разложения
где
F 1(р)= I 0(p 2 LC+prС+1) = 550(p 20,1·5·10–6 + p ·100· 5· 10–6+1) =
=550(p 25·10–7+ p ·5· 10–4+1);
(р)=3 p 2 LC+ 2 p (Z c +r) C+1)=3 p 2 0,1·5·10–6+2 p (500+
+100) · 5· 10–6+1= p 21,5·10–6 + 6 p 10–3 + 1;
F 1(p 1) = 550;
F 1(p 2) = 550[(–5640)2·5· 10–7–5640·5· 10–4+1] = 7480;
F 1(p 3) = 550[(–360)2·5· 10–7–360·5· 10–4+1] = 488;
(p 1) = 1;
(p 2)=(–5640)2·1,5· 10–6–5640·6· 10–3+ 1 = 14,9;
(p 3)=(–360)2· 1,5· 10–6–360·6· 10–3+ 1 = 0,9655.
Следовательно,
=
= 550 + 505 e – 5640 t – 505 e – 360 t А. (1)
· Определим путь ℓ об, который пройдет обратная волна тока вдоль линии к моменту времени t1 = 0,4·10–3 с: ℓ об = сt 1 =
= 3·105· 0,4· 10 –3 = 120км.
Таким образом, обратная волна пройдет от приемника вдоль всей линии к ее началу. В середине линии для времени
t1 = 0,4·10–3 с:
u=u пад + u об;(2)
i=i пад - i об.(3)
Получим i обв линии, заменив в (1) t на 
Для t1 = 0,4·10 –3 с
Тогда в середине линии, т.е. при x = ℓ/2 = 60 км
= 550 + 505 e –1,128-505 e –0, 072=243 A.
Ток в середине линии определим из (3):
i (ℓ/ 2, t 1) = 220 - 243= -23 A.
Напряжение в середине линии определим из (2):
u (ℓ/ 2, t 1) = u пад1 + i об(ℓ/ 2, t 1) Z c = 110·10–3- 243·500 = -11,5кВ.