Выводы с использованием конъюнкции, дизъюнкции, импликации
Бывают высказывания, содержащие другие высказывания в качестве своих компонент. Например:
Шарик или убежал, или попал под машину. (Дизъюнкция)
Дует ветер, и идет дождь. (Конъюнкция)
Если первый туземец – политик, он лжет. (Импликация)[1]
Пусть А и B - отдельные высказывания. (Раньше мы обозначали буквами термины внутри высказывания, например: «Все А суть Б». А в данном уроке мы будем обозначать буквами не термины, а целые высказывания).
Конъюнкция высказываний А и В – это высказывание вида «А и В». Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда оба входящие в нее высказывания истинны.
Дизъюнкция высказываний А и В – это высказывание вида «А или В». Существует два способа понимания союза «или»:
1) «А или В» истинно тогда и только тогда, когда истинно А или истинно В, но не оба вместе;
2) «А или В» истинно тогда и только тогда, когда по крайней мере одно из высказываний А, В истинно (может быть, и оба).
(В латинском языке даже было два разных союза «или»: aut означало “или” в первом смысле, vel – во втором).
Для определенности мы всегда будем понимать «или» во втором смысле: «или А, или В, или оба вместе», «по крайней мере А или В».
Отрицание конъюнкции и дизъюнкции.
Неверно, что А и В. Значит, не А или не В.
Неверно, что сегодня ветер и дождь. Значит, сегодня нет ветра или сегодня нет дождя.
… Значит, сегодня нет ни ветра, ни дождя. – неправильный вывод!
Неверно, что А или В. Значит, не А и не В.
Неверно, что Амундсен или Скотт был первым на Южном полюсе. Значит, ни Амундсен, ни Скотт не был первым человеком на Южном полюсе.
Дизъюнктивный силлогизм.
А или В; не А; следовательно, В.
Шарик или убежал, или попал под машину. Шарик не убежал. Следовательно, …[2]
Всегда либо день, либо ночь. Сейчас не день. Следовательно, …[3]
Каждый раз в столовой я беру по крайней мере или компот, или солянку. Сегодня я не взял солянку. Следовательно, я взял компот.
Каждый раз в столовой я беру по крайней мере или компот, или солянку. Сегодня я взял солянку. Следовательно, я не взял компот. - неправильный вывод! (А или В; А; следовательно, не В). Но если бы здесь стояло не «по крайне мере компот или солянку», а «либо компот, либо солянку, но только что-то одно из них», то вывод был бы правилен!
Гипотетическое высказывание, или импликация высказываний А и В – высказывание вида «Если А, то В». Импликация ложна, когда первое высказывание ложно, а второе истинно; во всех остальных случаях импликация считается истинной.
Гипотетические силлогизмы
Если А, то В; если В, то С; значит, если А, то С.
Если первый туземец – политик, то он лжет.
Если он лжет, то он отрицает, что он политик.
Значит, если первый туземец – политик, то он отрицает, что он политик.
Если А, то В; А; значит, В. (эта форма вывода называется модус поненс [4])
Если на улице дует ветер, то там холодно. На улице дует ветер. Следовательно, там холодно.
Если А, то В; не В; значит, не А. (модус толленс)
Если наступает день, то становится светло. Сейчас не светло. Следовательно, день не наступил.
Если это хороший фильм, то я китайский император! (Подразумевается: я не китайский император, следовательно, это – плохой фильм).[5]
На этом правиле основано «доказательство от противного». Пусть надо доказать А. Предположим, что А неверно, и выведем из этого «не А» некоторое заключение В, про которое известно, что оно ложно. Итак, получаем:
Если не А, то В;
не В;
значит, А.
Модус поненс и модус толленс – формы правильных выводов. Но их легко перепутать с двумя формами неправильных выводов:
Если А, то В; В; значит, А.
Если человеку 80 лет, он стар. Человек стар. Следовательно, ему 80 лет?????????
Если А, то В; не А; значит, не В.
Если Пушкин написал «Муму», то он достоин памятника. Пушкин не написал «Муму». Следовательно, он не достоин памятника???????
Упражнения
Напишите логическую форму следующих выводов. Определите, правильны ли эти выводы (предупреждаю, что далеко не все из них правильны!).
1. Если бы Плутон имел диаметр более 6500 км, обсерватория заметила бы затмение, а записанные наблюдения явно показывают, что затмения не было. Поэтому диаметр Плутона не может быть больше 6500 км.
Образец решения.
А = Диаметр Плутона больше 6500 км.
В = Обсерватория заметила затмение.
Форма вывода: Если А, то В; не В; значит, не А.
Вывод правилен.
Все остальное – на дом, сделайте по образцу.
2. Абсолютный пацифизм мог бы быть хорошим принципом, если бы все ему следовали. Но этого не происходит; следовательно, этот принцип нехорош.
3. Люди трудятся, только если их подталкивает к этому или силовое принуждение, или денежное вознаграждение. В современном обществе силовое принуждение если не полностью, то в значительной степени исчезло. Лишь денежное вознаграждение сохраняет свое значение стимула к труду.
4. Если бы каждый человек обладал определенной совокупностью правил действия, следуя которым он живет, он был бы не чем иным, как машиной. Однако таких правил не существует. Следовательно, человек не может быть машиной.
5. – Где же тогда Серебряный?
– Я уже сказал, что он или вернулся в Кингс-Пайленд, или поскакал в Кейплтон. В Кингс-Пайленде его нет. Значит, он в Кейплтоне. (А.К. Дойл, Серебряный)
6. Мне кажется, люди совершенно не сознают истинной мощи любви, ибо, если бы они сознавали ее, они бы воздвигали ей величайшие храмы и алтари и приносили величайшие жертвы, а меж тем ничего подобного не делается… (Платон, Пир)
7. Если второй туземец сказал правду, то первый туземец отрицает, что он политик. Если третий туземец сказал правду, то первый туземец отрицает, что он политик. Следовательно, если второй туземец сказал правду, то и третий туземец сказал правду.
[1] Есть класс логических задач, в которых действие происходит в социуме, где политики, в отличие от прочих, всегда лгут. См., например, файл «Логические задачи». Всякие совпадения с реальными лицами случайны.
[2] Сами догадайтесь. Шарика жаль.
[3] Сами догадайтесь.
[4] Эта, на первый взгляд очень простая, форма вывода настолько важна, что даже удостоилось собственнеого имени, - как впрочем, и следующая.
[5]Забавный пример энтимемы, в которой пропущены и заключение, и одна из посылок.