Уравнения в полных дифференциалах

Если для дифференциального уравнения выполнено равенство , то оно может быть представлено в виде . Такое уравнение называется ДУ в полных дифференциалах.

Общий интеграл уравнения есть . Функция определяется по формуле , где x ₀ и y ₀ – подбираются произвольным образом. Если необходимо найти интегрирующий множитель (рекомендуем эту тему разобрать самостоятельно).

Пример 9. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Þ левая часть ДУ есть полный дифференциал некоторой функции . Найдем ее:

.

Так как C, получим .

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Основные понятия

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае имеет вид , или в виде, разрешенном относительно старшей производной , если это возможно.

Решением ДУ второго порядка называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ второго порядка называется функция , где и – произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям: 1) – является решением ДУ для каждого фиксированного значения и ; 2) каковы бы ни были начальные условия , , существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением данного уравнения и удовлетворяет начальным условиям.

Всякое решение данного ДУ, получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных и , называется частным решением.

Решения ДУ, записанные в виде , , называются общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение представляет собой множество интегральных кривых; частное решение – одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом .

Как и в случае ДУ первого порядка, задача нахождения решения ДУ, удовлетворяющая заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Теорема (существования и единственности задачи Коши). Если в ДУ функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области D изменения переменных х, у и , то для всякой точки существует единственное решение данного ДУ, удовлетворяющее начальным условиям , .

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ п -го порядка, которое в общем виде записывается как .

Задача нахождения решения ДУ п -го порядка сложнее, чем первого, поэтому ограничимся рассмотрением отдельных видов ДУ высших порядков.

Уравнения, допускающие понижение порядка

В некоторых случаях порядок ДУ может быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование. Рассмотрим три типа подобных уравнений.

1. Случай непосредственного интегрирования.

Пусть дано уравнение .

Интегрируя обе части данного уравнения, получим: . Далее, интегрируя полученное уравнение, находим или .

Если , то

.

Пример 10. Решить уравнение .

Решение.

, .

Пример 11. Решить ДУ y(0)=0

Решение.

. Подставив начальные условия, получаем уравнения 0= С ₂.

Отсюда , . Получаем

2. Если дано ДУ , не содержащее явно искомой функции у.

В этом случае используется замена .

Пример 12. Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях .

Решение. Положим . Тогда уравнение примет вид – ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Решая полученное уравнение, имеем , отсюда . Т. к. , то . Интегрируя последнее равенство, находим – общее решение.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

	.	Решая полученную систему, находим , . Таким образом, окончательно имеем .
	.

3. Если дано ДУ , не содержащее явно независимой переменной х.

Здесь используется замена .

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. В данном ДУ явно нет х. Применив указанную замену, получим – ДУ с разделяющимися переменными. Отсюда , значит – уравнение с разделяющимися переменными. Решая, окончательно получим или .