Уравнения в полных дифференциалах





Если для дифференциального уравнения выполнено равенство , то оно может быть представлено в виде . Такое уравнение называется ДУ в полных дифференциалах.

Общий интеграл уравнения есть . Функция определяется по формуле , где x0 и y0 – подбираются произвольным образом. Если необходимо найти интегрирующий множитель (рекомендуем эту тему разобрать самостоятельно).

Пример 9.Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Þ левая часть ДУ есть полный дифференциал некоторой функции . Найдем ее:

.

Так как C, получим .

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Основные понятия

 

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае имеет вид , или в виде, разрешенном относительно старшей производной , если это возможно.

Решением ДУ второго порядка называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ второго порядка называется функция , где и – произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям: 1) – является решением ДУ для каждого фиксированного значения и ; 2) каковы бы ни были начальные условия , , существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением данного уравнения и удовлетворяет начальным условиям.

Всякое решение данного ДУ, получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных и , называется частным решением.

Решения ДУ, записанные в виде , , называются общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение представляет собой множество интегральных кривых; частное решение – одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом .

Как и в случае ДУ первого порядка, задача нахождения решения ДУ, удовлетворяющая заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Теорема (существования и единственности задачи Коши). Если в ДУ функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области D изменения переменных х, у и , то для всякой точки существует единственное решение данного ДУ, удовлетворяющее начальным условиям , .

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ п-го порядка, которое в общем виде записывается как .

Задача нахождения решения ДУ п-го порядка сложнее, чем первого, поэтому ограничимся рассмотрением отдельных видов ДУ высших порядков.

 

Уравнения, допускающие понижение порядка

 

В некоторых случаях порядок ДУ может быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование. Рассмотрим три типа подобных уравнений.

1. Случай непосредственного интегрирования.

Пусть дано уравнение .

Интегрируя обе части данного уравнения, получим: . Далее, интегрируя полученное уравнение, находим или .

Если , то

.

Пример 10.Решить уравнение .

Решение.

, .

Пример 11.Решить ДУy(0)=0

Решение.

. Подставив начальные условия, получаем уравнения 0=С2.

Отсюда , . Получаем

2. Если дано ДУ , не содержащее явно искомой функции у.

В этом случае используется замена .

Пример 12.Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях .

Решение. Положим . Тогда уравнение примет вид – ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Решая полученное уравнение, имеем , отсюда . Т. к. , то . Интегрируя последнее равенство, находим – общее решение.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

. Решая полученную систему, находим , . Таким образом, окончательно имеем .
.

3. Если дано ДУ , не содержащее явно независимой переменной х.

Здесь используется замена .

Пример 13.Решить уравнение .

Решение. В данном ДУ явно нет х. Применив указанную замену, получим – ДУ с разделяющимися переменными. Отсюда , значит – уравнение с разделяющимися переменными. Решая, окончательно получим или .

 





Читайте также:
Термины по теме «Социальная сфера»: Общество — сумма связей, система отношений, возникающая...
Своеобразие родной литературы: Толстой Л.Н. «Два товарища». Приёмы создания характеров и ситуаций...
Виды функций и их графики: Зависимость одной переменной у от другой х, при которой каждому значению...
Технические характеристики АП«ОМЕГА»: Дыхательным аппаратом со сжатым воздухом называется изоли­рующий резервуарный аппарат, в котором...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2022 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:


Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.011 с.