АНТИВИРУСНЫЕ ЛЕКЦИИ
ДОКТОРА АЛЕКСЕЕВА
Очень вырос в целом мире
COVID-вирус, три-четыре!
Но не попадайте в сети паники!
Если глупый – сразу гроб!
Сохранить здоровье чтоб
Изучайте курс теормеханики!
В. С. Высоцкий,
К. Н. Алексеев
Задача двух тел (дополнение)
1. Как было показано ранее, радиус-вектор 
удовлетворяет уравнению
, (1)
где приведенная масса 
определена как 
. Решение (1) определяет вектор-функцию
. (2)
Учтем, что радиус-вектор центра масс
(3)
изменяется по линейному закону 
, где константы 
(постоянная скорость движения цента масс) и 
(его начальное положение) известны из начальных условий. Тогда, рассматривая (2) и (3) как систему двух линейных уравнений относительно неизвестных 
и 
, можно определить их стандартными методами. Например, выражая из (2) 
и подставляя в (3), получим уравнение
относительно , откуда для него будем иметь
. (4)
Для с учетом (4) легко получить
. (5)
Формулы (4), (5) являются решением задачи двух тел и позволяют определить, как изменяются и от времени. Отметим, что ответ содержит две векторных неопределенных константы и , которые должны определяться из начальных условий. При этом также считается, что определен из уравнения Ньютона (1).
Наиболее просто решения (4), (5) выглядят в системе цента масс, в которой 
:
. (6)
. (7)
Полезно рассмотреть предельный случай, когда масса одного из взаимодействующих те много больше массы второго тела. Пусть 
. Тогда из (6), (7) получаем: 
. 
, то есть массивное тело практически не движется при этом. Уравнение (1) при этом приближенно имеет вид 
. Таким образом, легкая точка как бы совершает движение в поле неподвижного массивного тела, реализуя эффективно задачу одного тела.
2. Рассмотрим теперь вопрос о том, является приведенная масса «полноправным» представителем инертных свойств системы двух точек, не возникает ли она только в уравнении второго закона Ньютона (1) неким случайным образом, а больше не фигурирует нигде. С этой целью, работая в системе центра масс и пользуясь упрощенными формулами (6), (7), определим вид интегралов движения систем в терминах разностной переменной 
. Имеем из (6), (7):
, 
. (8)
Для момента импульса системы двух точек имеем:
.
Как видно, в выражении для момента импульса системы естественно возникает приведенная масса .
Аналогично решается вопрос для кинетической энергии системы:
.
Таким образом, приведенная масса характеризует динамические свойства системы двух точек, взаимодействующих между собой центральным образом.
А теперь, дружок, минутка расслабления. Эта притча поможет тебе правильно учить теоретическую механику!
В середине 20–х годов молодой еврей пришёл к известному нью–йоркскому раввину и заявил, что хочет изучить Талмуд.
— Ты знаешь арамейский? — спросил раввин.
— Нет.
— А иврит?
— Нет.
— А Тору в детстве учил?
— Нет, ребе. Но вы не волнуйтесь. Я закончил философский факультет Беркли и только что защитил диссертацию по логике в философии Сократа. А теперь, чтобы восполнить белые пятна в моих познаниях, я хочу немного поучить Талмуд.
— Ты не готов учить Талмуд, — сказал раввин. — Это глубочайшая книга из всех, написанных людьми. Но раз ты настаиваешь, я устрою тебе тест на логику: справишься — буду с тобой заниматься.
Молодой человек согласился, и раввин продолжил.
— Два человека спускаются по дымоходу. Один вылезает с чистым лицом, другой — с грязным. Кто из них пойдёт умываться?
У молодого философа глаза на лоб полезли.
— Это тест на логику?!
Раввин кивнул.
— Ну, конечно, тот, у кого грязное лицо!
— Неправильно. Подумай логически: тот, у кого грязное лицо, посмотрит на того, у кого лицо чистое, и решит, что его лицо тоже чистое. А тот, у кого лицо чистое, посмотрит на того, у кого лицо грязное, решит, что сам тоже испачкался, и пойдёт умываться.
— Хитро придумано! — восхитился гость. — А ну–ка, ребе, дайте мне ещё один тест!
— Хорошо, юноша. Два человека спускаются по дымоходу. Один вылезает с чистым лицом, другой — с грязным. Кто из них пойдёт умываться?
— Но мы уже выяснили — тот, у кого лицо чистое!
— Неправильно. Оба пойдут умываться. Подумай логически: тот, у кого чистое лицо, посмотрит на того, у кого лицо грязное, и решит, что его лицо тоже грязное. А тот, у кого лицо грязное, увидит, что второй пошёл умываться, поймёт, что у него грязное лицо, и тоже пойдёт умываться.
— Я об этом не подумал! Поразительно — я допустил логическую ошибку! Ребе, давайте ещё один тест!
— Ладно. Два человека спускаются по дымоходу. Один вылезает с чистым лицом, другой — с грязным. Кто из них пойдёт умываться?
— Ну… Оба пойдут умываться.
— Неправильно. Умываться не пойдёт ни один из них. Подумай логически: тот, у кого лицо грязное, посмотрит на того, у кого лицо чистое, и не пойдёт умываться. А тот, у кого лицо чистое, увидит, что тот, у кого лицо грязное, не идёт умываться, поймёт, что его лицо чистое, и тоже не пойдёт умываться.
Молодой человек пришёл в отчаяние.
— Ну поверьте, я смогу учить Талмуд! Спросите что–нибудь другое!
— Ладно. Два человека спускаются по дымоходу…
— О Господи! Ни один из них не пойдёт умываться!!!
— Неправильно. Теперь ты убедился, что знания логики Сократа недостаточно, чтобы учить Талмуд? Скажи мне, как может быть такое, чтобы два человека спускались по одной и той же трубе, и один из них испачкал лицо, а другой — нет?! Неужели ты не понимаешь? Весь этот вопрос — бессмыслица, и если ты потратишь жизнь, отвечая на бессмысленные вопросы, то все твои ответы тоже будут лишены смысла!