Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
Таблица производных
Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1. 
.
Найдем производную, когда 
.
Зададим приращение аргументу 
, что даст 
. Так как
, а 
, то
Отсюда 
и 
,
то есть 
. Если 
, результат тот же.
2. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
.
Отсюда 
и 
, то есть 
.
3. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
.
Отсюда 
и 
, то есть 
.
4. 
.
По определению 
. Будем дифференцировать 
как частное:
, то есть 
.
5. 
.
По определению 
. Будем дифференцировать 
как частное:
, то есть 
.
6. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
.
Отсюда 
и
,
то есть 
. Здесь была использована формула для второго замечательного предела.
7. 
.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим 
: 
. Значит, 
.
8. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как 
, а 
, то 
. Отсюда
и 
, то есть 
.
Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.
9. 
.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : 
. Значит, 
.
Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если 
, то 
.
Теорема. Если для некоторой функции существует обратная ей , которая в точке 
имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную 
равную 
, то есть 
.
Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: 
. Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть 
, откуда 
. Значит, .
Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.
10. 
.
В данном случае обратной функцией будет 
. Для нее 
. Отсюда
,
то есть 
.
11. 
.
Так как
, то 
. 
.
В данном случае обратной функцией будет 
. Для нее
.
Отсюда 
, то есть 
.
13. 
.
Так как
, то 
.
Производная сложной функции
Пусть дана функция 
и при этом 
. Тогда исходную функцию можно представить в виде 
. Функции такого типа называются сложными. Например, 
.
В выражении аргумент 
называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.
Теорема. Пусть функция имеет производную в точке 
, а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция 
в точке 
также будет иметь производную равную производной функции 
по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по , то есть 
.
Для доказательства дадим приращение аргументу , то есть от перейдем к 
. Это вызовет приращение промежуточного аргумента , который от 
перейдет к 
. Но это, в свою очередь, приведет к изменению 
, который от перейдет к 
. Так как согласно условию теоремы функции 
и 
имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если 
, то и 
, что, в свою очередь, вызовет стремление 
к нулю.
Составим 
. Отсюда,
и, следовательно, .
Если функция 
имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде , где 
, а 
, или 
, то, соответственно, 
и так далее.