Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение 
связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая 
, получаем значение 
, то есть пару чисел, являющихся координатами точки 
. При изменении меняется , точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные и 
связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции: 
где 
. Для каждого значения 
из данного промежутка будет своя пара чисел и , которой будет соответствовать точка . Пробегая все значения, заставляет меняться и , то есть точка движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная – параметром.
Если функция 
взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти 
. Подставляя в , получим 
, то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.
Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям 
и 
в зависимости от времени 
, то есть в виде параметрически заданной функции 
Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение 
.
В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.
1. Окружность.
Возьмем точку на окружности с радиусом 
. Выражая и через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:
Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности 
.
Рис. 3.1
2. Эллипс.
Известно, что уравнение эллипса – 
. Отсюда 
. Возьмем две точки 
и 
на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу 
(рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что 
. Подставим это выражение в 
: 
. Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид
Рис. 3.2
3. Циклоида.
Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом 
. Зафиксируем точку O ее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты:
Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:
Рис. 3.3
4. Астроида.
Пусть внутри окружности радиуса 
без скольжения катится другая окружность радиуса 
. Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:
Рис. 3.4
Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.
Пусть функция 
от задана параметрически: 
где 
. Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом 
. Найдем 
.
Составим отношение 
. Тогда
.
Следовательно, 
. Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.
Литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.
2. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
3. Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.
4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.