Схематизация свойств материала




Применение при математическом моделировании аппарата бесконечно малых приводит к необходимости считать материал однородной и сплошной средой. В противном случае необходимо применять дискретную математику, что необозримо усложняет математическое описание и расчеты. По этой же причине приходится считать материал изотропным – свойства материала одинаковы во всех направлениях. Ясно, что последнее приемлемо для металлов, и является существенным упрощением для дерева и композитных материалов.

Математические проблемы приводят также к необходимости считать материал идеально и линейно упругим. При этом мы получаем линейные уравнения, решение которых существенно проще нелинейных, а также принцип независимости действия сил. Последний говорит, что порядок приложения сил не влияет на конечный результат, что существенно упрощает расчеты на прочность и жесткость.

На рисунке приведен пример диаграммы растяжения образца длиной l из углеродистой стали (подробнее смотри лабораторную работу №9 в лабораторном практикуме по СМ). Будет показано, что при первом нагружении нагрузка идет по диаграмме растяжения, а разгрузка по закону Гука. Пусть сила Р1 приводит в напряжениям в пределах закона Гука, а сила Р2 - за пределами закона Гука. Прикладывая силы в порядке Р1 – Р2 получаем удлинение Δl1 , изменяя порядок на Р2 – Р1 – Δl2 . Таким образом принцип независимости действия сил не выполняется. Уменьшая Р2 и оставаясь в пределах упругости сохраняем принцип независимости действия сил.

В большинстве расчетов выход за пределы упругости не допустим.

1.Линейная деформация даже для сталей и приводит к значительным изменениям размеров детали в процессе эксплуатации - выходу за пределы допустимых нагрузок (по второй группе предельных состояний).

В машиностроении это приводит к нарушению условий сопряжения деталей, в строительстве – к большим прогибам.

2. Не возвращение детали к начальным размерам после нагрузки означает, что часть энергии, затраченной на деформацию, переходит в материал, необратимо меняя его свойства, накапливается при циклическом нагружении приводит к его усталости. Последний факт знаком всем : порвать проволоку руками не хватает сил, а многократный ее изгиб при больших деформациях быстро приводит к разрушению. В практических расчетах это выход нагрузок за пределы третьей группы предельных состояний (определяется образованием и развитием трещин и других повреждений).

Все сказанное приводит к применению в большинстве расчетах линейной зависимости между напряжениями и деформациями. При растяжении образца деформация постоянна и это

,

где - модуль нормальной упругости материала (модуль Юнга), :

для сталей ,

для алюминиевых сплавов ,

для сплавов титана ,

для бетона .

В поперечных площадках деформация меняет знак и

.

Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) безразмерный и составляет:

для сталей ,

для алюминиевых сплавов ,

для бетона .

(Подробнее смотри лабораторную работу №1 в лабораторном практикуме по СМ. Там же излагается метод определения деформаций).

 

5. Схематизация формы детали

Решение задачи расчета на прочность и жесткость для тела произвольной формы аналитически невозможно. Численное решение громоздко, требует специальных навыков и неудобно при проектировании. Для упрощения задачи проводится схематизация формы тела: стержень, пластина, оболочка.

Стержень – тело, один из размеров которого существенно (на порядок и больше) больше двух других. Пластина – плоская деталь, один из размеров которого существенно меньше двух других. Оболочка – неплоская деталь, один из размеров которого существенно меньше двух других.

Пример: у ведра дужка – стержень, дно – пластина, боковая поверхность – оболочка.

Конечно, реальные конструкции не всегда подходят под принятую схематизацию. В этом случае схема принимается приближенно. Например, вал считают стержнем, а он бывает коротким. Расчеты поправляются специальными коэффициентами. В частности, в деталях машин вводятся специальные допускаемые напряжения для валов из данного материала. В некоторых случаях деталь разбивается на элементы, подходящие под схематизацию. Например – телевизионная вышка – стержневая система.

 

6. Схематизация сил. Принцип Сен-Венана

Очевидно, что понятие сосредоточенная сила в принципе не применимо в СМ, так как сила в точке дает бесконечные напряжения. Реально имеет место некоторая контактная площадка и напряжения не бесконечны. Поэтому правильно ограничиться понятиями вектора поверхностных сил с размерностью давления и вектора объемных сил (силы инерции, силы внешних полей, собственный вес) с размерностью удельного веса. Для стержней эти силы приводят к оси и называют погонными с размерностью Н/м или Н/мм.

Сложность заключается в правильном описании изменения сил по площади (попробуйте представить, как меняется давление одной детали на другую в пределах площадки контакта и размеры этой образующейся площадки). С другой стороны, очевидно, что за пределами контактной площадки результат нагружения не зависит от закона распределения сил по площадке (принцип Сен-Венана). Поэтому силы и моменты, действующие по относительно малым площадкам, можно считать сосредоточенными. Расчеты же контактных напряжений вести отдельно в случае необходимости. Например, зубчатые колеса считают отдельно на контактную, отдельно на изгибную прочность.

Точные численные расчеты хорошо иллюстрируют принцип Сен-Венана.

 

 

Как видно из примера, на расстоянии порядка поперечного размера стержня напряжения от сосредоточенной силы распределены практически равномерно, т.е. допустимо применение принципа Сен-Венана.

 

7. Схематизация деформаций

Рассматривается в тесной связи со схематизацией формы детали.

В стержнях поперечное сечение считается плоским после нагружения (гипотеза Бернулли). В пластинах и оболочках нормаль к срединной поверхности считается после нагружения прямой. Такие упрощения характера деформации существенно упрощают расчеты, уменьшая число параметров. Рассмотрим на примере изгиба и растяжения (сжатия) стержня. Задачу решаем в главных центральных осях.

Обозначим перемещение точек вдоль оси стержня w, перемещения точек оси wо, поворот сечения относительно оси x - φx, оси yφy. Рассмотрим два бесконечно близких сечения на расстоянии dz.

Перемещение точки (волокна) с координатами x,y с учетом поворота сечения

,

а его дифференциал (приращение на отрезке оси dz)

.

Линейная деформация

.

Закон Гука при растяжении волокна

. Сравнивая с результатами приближенного представления функции рядом, получаем, первые три члена ряда суть

, , .

Представление функции первыми тремя членами ряда есть представление перемещений сечения как перемещение плоскости. Реально сечение, конечно, не плоское, и отклонения от плоскости описывается отброшенными членами ряда (это называется депланацией сечения).

Для перемещений сечения получаем разрешающие дифференциальные уравнения,

, , ,

из которых видно влияние площади сечения и главных центральных моментов инерции на деформации.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-12-21 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: