ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебное пособие
§1. Предмет теории вероятностей. Классификация событий
Испытанием называется осуществление некоторого комплекса условий.
Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдёт. Обозначается достоверное событие буквой 
.
Событие называется невозможным, если в результате испытания оно точно
не произойдёт. Обозначается – Ø. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может произойти, а может не произойти.
Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей массовых однородных случайных событий, которые могут многократно повторяться при осуществлении одного и того же комплекса условий.
Суммой двух событий 
и 
(обозначается 
) называется событие, состоящее в том, что в результате испытания произойдёт хотя бы одно из событий. Это значит: либо произойдёт, а не произойдёт, либо произойдёт и не произойдёт , либо произойдут оба события.
Произведением двух событий (обозначается 
) называется событие, состоящее в том, что в результате испытания произойдут оба события:
и , и .
События и называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого, т.е. 
Ø. В противном случае, события и совместны.
Через 
будем обозначать событие, противоположное событию , т.е. событие, заключающееся в том, что в результате испытания событие не произойдёт ( + = , · = Ø).
События 
, 
= 1, 2, …, 
, образуют полную группу событий, если 
.
Пример 1.1. Деталь проходит последовательно две операции. Событие 
- успешное прохождение первой операции, 
- второй. Как записать событие , заключающееся в том, что обе операции будут пройдены успешно?
Решение. Для появления события необходимо и достаточно, чтобы осуществились и событие 
, и событие 
; поэтому = · .
Пример 1.2. Система слежения за спутником имеет три станции в разных точках страны. Обнаружение спутника 1-й станцией – событие , 2-й - , 3-й - 
. Записать событие – обнаружение спутника хотя бы одной станцией через события , , .
Решение. Т.к. достаточно засечь спутник хотя бы одной станцией, то событие 
является суммой, т.е. = + + .
Пример 1.3. Электрическая цепь между точками 
и 
составлена по следующей схеме (рис. 1):
|
a
 |
М 
N
Рис. 1
Пусть – выход из строя элемента 
, 
- выход из строя элемента 
,
= 1, 2, 3, 
– разрыв цепи. Выразить событие С через А, , k = 1, 2, 3.
Решение. Разрыв цепи может произойти в двух случаях: либо выйдет из строя элемент а (осуществится событие ), либо выйдут из строя все три элемента , k = 1, 2, 3 (обозначим это событие буквой B). Теперь ясно (см. определение суммы событий), что
C = + 
.
Событие B, в свою очередь может быть представлено так:
C = · ·
(см. определение произведения событий). Поэтому, окончательно имеем
C = + · B · B .
Задачи для самостоятельной работы
1.1. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие – исправна машина, события 
(k = 1, 2) – исправлен k -й котёл. Событие C означает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том случае, если исправны машина и хотя бы один котёл. Выразить события C и 
через и 
.
1.2. Судно имеет одно рулевое устройство, четыре котла и две турбины. Событие означает исправность рулевого устройства. Событие (k = 1, 2, 3) – исправность k -го котла, а C 
(j = 1, 2) - исправность j -й турбины. Событие D – судно управляемое, что будет в том случае, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котёл и хотя бы одна турбина. Выразить события D и 
через , B 
и C 
.
1.3. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трёх блоков второго типа. События: (k = 1, 2) – исправлен k -й блок первого типа, B (j = 1, 2, 3) – исправлен j -й блок второго типа. Прибор исправлен, если исправлены хотя бы
один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие C, означающее исправность прибора, через 
и B 
.
1.4. Рабочий обслуживает три станка. Событие, заключающееся в том, что в течение часа первый станок потребует внимание рабочего - 
, второй - , третий - .
B – событие, заключается в том, что в течение часа точно один станок потребует внимания рабочего;
C – хотя бы один станок потребует внимания рабочего;
D – ни один станок не потребует внимания рабочего.
Выразить каждое из событий B, C и D через 
, k= 1, 2, 3.
§2. Вероятное пространство. Аксиоматическое определение вероятности. Классическая схема
Пространством элементарных событий называется множество всех взаимно исключающихся исходов испытания.
Имеется очень удобная и наглядная модель представления событий. В этой модели достоверное событие изображается в виде некоторой области на плоскости (рис. 2), а все другие события, связанные с данным испытанием, - в виде отдельных частей этой области. При таком подходе естественно не различать пространство элементарных событий и достоверное событие. Поэтому в дальнейшем пространство элементарных событий будет также обозначать Ω. В этой схеме сумма событий – есть объединение множеств, а произведение – их пересечение.
Рис. 2
На нашем рисунке: событие – множество точек треугольника (большого), + B – это объединение всех точек прямоугольника и всех точек треугольника, · B – их общая часть (изображена закрашенным прямоугольным треугольником).
Пусть Ω - пространство элементарных событий и M – множество всех подмножеств Ω. Система S событий, выделенная из M, называется алгеброй событий, если:
1) Ω 
S;
2) 
, B 
S + B и · B S;
3) S 
S.
Заметим, что Ø S так как Ø = 
.
Теперь каждому событию S поставим в соответствие число, характеризующее объективную возможность появления события , то есть на множестве S определим числовую функцию P ().
Определение. Числовая функция P (), определённая на множестве S, называется вероятностью, если она удовлетворяет условиям:
1) P () 
0 S;
2) P (Ω) = 1;
3) P ( + B) = P () + P (B), если · B =Ø.
Соотношения 1) – 3) называются аксиомами вероятности; в частности, 3) называется аксиомой сложения.
Конкретное определение вероятности может даваться различными способами.
Если выбраны пространство элементарных событий Ω, алгебра событий S, и вероятность P, определённая на S, то говорят, что задано вероятностное пространство (Ω, S, P).
Важные свойства вероятности:
1) P () 
1 S;
2) P (Ø) = 0;
3) P () = 1- P ().