1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет больше пяти? (Отв.: 13/18)
2. Какова вероятность того, что при бросании трёх игральных костей выпадает одинаковое число очков на всех трёх костях? Какова вероятность того, что на двух костях выпадает одинаковое число очков? (1/36; 5/12)
3. Замок устроен так, что на одной оси вращаются три диска. Каждый диск разделён на 5 секторов, отмеченных различными буквами. Замок может быть открыт при определённой комбинации этих букв. Какова вероятность того, что замок будет открыт при первой установленной комбинации этих букв? (0,008)
4. На карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Какова вероятность того, что при извлечении двух карточек сумма цифр будет чётной? Какова вероятность того, что произведение цифр будет чётным? (3/7; 5/7)
5. Устройство содержит 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включёнными окажутся неизношенные элементы. (0,3)
6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. (1/720)
7. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Какова вероятность, что во взятом наудачу номере все пять цифр разные? (0,3024)
8. У сборщика 10 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них четыре первого, по две второго, третьего и четвёртого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, две – второго и одна – третьего? (0,0038)
9. Схема освещения комнаты предполагает наличие трёх ламп. Необходимые три лампы наугад вынимают из ящика, содержащего 190 годных и 10 бракованных ламп (внешне неразличимых). Найти вероятность того, что комната будет освещена (т.е. горит хотя бы одна лампа), предполагая, что: а) лампы соединены последовательно; (0,857) б) лампы соединены параллельно; (0,9999)
10. В лифте семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: А – все пассажиры выйдут на четвёртом этаже; (0,0046) В - все пассажиры выйдут на одном и том же этаже; (0,0278) С - все пассажиры выйдут на разных этажах; (0,5556)
11. На 25 студентов для производственной практики представлено 10 мест в Нижний Новгород, 8–в Санкт-Петербург и 7–в Москву. Какова вероятность того, что три определённых студента попадут на практику в один город (или Нижний Новгород, или Санкт-Петербург, или Москву)? (0,092)
§3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Рассмотрим вероятное пространство (
, S P).
Теорема сложения. Для любых событий 
, В 
S:
P ( + В) = P () + P (В) - P ( · В)
Если, в частности, события и В несовместны, т.е. · В = Ø, то P ( · В) = 0
и из теоремы вытекает аксиома сложения:
P ( + В) = P () + P (В).
Введём понятие условной вероятности.
Пусть , В S, причём P () > 0.
Условной вероятностью 
называется вероятность появления события В при условии, что событие произошло; по определению
P (B| ) = 
.
Заметим, что все аксиомы вероятности выполнены для условной вероятности.
События и В называются независимыми,если P (B| ) = P (B| 
), т.е. вероятность появления события В не зависит от того, произошло событие А или не произошло. Значит, в таких случаях P (B| ) = P (B). Если же P (B| ) 
P (B| ), то события и В называются зависимыми.
Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
P ( · В) = P () · P (B| ).
Если события и В независимы, то
P ( · В) = P () · P (B).
Пример 3.1. СМО – аэропорт, имеющий три взлётно-посадочные полосы. Вероятности того, что в случайные моменты времени свободны: 1-я полоса равна 0,55, 2-я – 0,4, 3-я – 0,35. Найти вероятность того, что аэропорт может принять без задержки: А – три самолёта; В – два самолёта; С – один самолёт.
Решение. Обозначим через 
- событие, что в случайный момент времени свободная i -ая полоса (i = 1, 2, 3). Тогда, по условию,
Вероятности того, что полосы заняты, равны, соответственно
Для того, чтобы принять без задержки три самолёта, должны быть свободными все три полосы, поэтому событие А есть произведение
.
Учитывая независимость множителей, имеем:
Для осуществления события 
должны быть свободны либо две, либо три полосы. Это значит, что событие может быть представлено так:
Принимая во внимание, что слагаемые события несовместны и в каждом слагаемом множители независимы, получаем
Чтобы без задержки принять один самолёт – событие 
, достаточно иметь свободной хотя бы одну взлётно-посадочную полосу. Будет рациональнее сначала найти вероятность противоположного события. Ясно, что 
представляет собой произведение
= 
Переходим к вычислению вероятностей событий и :
.
Пример 3.2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает 1-й сигнализатор равна 0,95, а что сработает 2-й – 0,9. Найти вероятность того, что в случае аварии сработает точно один сигнализатор. Найти вероятность того, что сработает хотя бы один сигнализатор.
Решение. Рассмотрим следующие события:
- при аварии сработает 1-й сигнализатор;
- сработает 2-й сигнализатор;
- сработает точно один сигнализатор;
С - сработает хотя бы один сигнализатор.
Событие означает, что в случае аварии 1-й сигнализатор сработает, а 2-й – нет, либо что 1-й не срабатывает, но срабатывает 2-й. Отсюда следует представление события в виде:
Слагаемые события, очевидно, несовместны. Поэтому, применяя теорему сложения, получаем
Используя теперь теорему умножения для независимых событий, имеем:
По условию
Тогда
Р () = 0,95 · 0,1 + 0,05 · 0,9 = 0,14.
Событие означает, что при аварии сработает либо один сигнализатор, либо сработают оба. Поэтому
Если бы вопрос стоял только о нахождении вероятности события , то более рациональным было бы найти сначала вероятность противоположного события 
, состоящего в том, что при аварии не сработает 1-й сигнализатор (событие 
) и не сработает 2-й (событие 
; поэтому 
и, значит,
Теперь ясно, что
