Параболу можно определить как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной прямой, называемой директрисой, и данной точки, называемой фокусом.
Пусть фокус F имеет координаты: F (0, p /2), уравнение директрисы y = – p /2; | MK | = | MF |.
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
| x 2 = 2 py |
Если фокус имеет координаты F (p /2, 0), а уравнение директрисы x = – p /2; | MK | = | MF |, то каноническое уравнение параболы имеет вид:
| y 2 = 2 px |
Точка О (0,0) является вершиной параболы. Если вершина параболы находится в точке M 0(x 0, y 0), то уравнение параболы имеет вид:
| (x – x 0)2 = 2 p (y – y 0) |
или
| (y – y 0)2 = 2 p (x – x 0) |
Пример. Показать, что уравнение y 2 – 4 x – 2 y – 11 = 0 определяет параболу. Сделать чертеж.
Решение: Преобразуем данное уравнение, выделяя полный квадрат:
y 2 – 2 y + 1 – 1 – 4 x – 11= 0
(y – 1)2 = 4 x +12 Þ (y – 1)2 = 4(x +3)
Получили уравнение параболы вида с вершиной M 0(–3, 1); p = 4/2 = 2. Построим директрису. Для этого проведем прямую, параллельную оси Oy и отстоящую от вершины на 
Ее уравнение x = – 4. Фокус параболы имеет координаты F (–2, 1). | MK | = | MF |.
Полярные координаты
Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, луча ОР, исходящего из этой точки, и единицы масштаба. Точка О называется полюсом, а луч ОР – полярной осью.
Пусть M – произвольная точка плоскости. Обозначим через r расстояние от точки M до полюса, через j – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Эти числа называются полярными координатами точки М, причем величина r называется полярным радиусом, а j – полярным углом точки М. По определению величина r = | OM |. Задание пары чисел (r, j) однозначно определяет точку М на плоскости.
Если ограничить изменение угла j пределами 0 ≤ j ≤ 2p, то верно и обратное каждой точке плоскости однозначно соответствует пара чисел (r, j). Исключение составляет только полюс О, для которого r = 0, а угол j не определен.
Если выбрать декартову систему координат так, чтобы ее начало совпадало с полюсом полярной системы, а ось Ox шла по полярной оси ОР, то декартовы координаты (x, y) произвольной точки М и ее полярные координаты (r, j) будут связаны следующими соотношениями:
| x = r cos j, y = r sin j |
|
Из этих формул следует, что
|
Замечание: Формула tg j = y / x определяет два угла j и j + p (в пределах от 0 до 2p).
Формулы уточняют, какой из этих углов следует выбрать. Из формулы 
вытекает, что надо брать тот угол j, для которого cos j имеет тот же знак, что и x.
Пример. Построить точки, заданные своими полярными координатами:
A (3; p/2), B (2; 5p/4), C (1; –p/4), D (2; 0).
Решение: Для построения точек A, B и С из полюса О проведем лучи под углом j1 = p/2, j2 = 5p/4, j3 = –p/4 и на них отложим отрезки длины 3, 2, 1, соответственно
Точку D откладываем на полярной оси на расстоянии 2 от полюса.
Пример. Построить линию, заданную в полярной системе координат уравнением r = 2cos j.
Решение: Построим эту линию по точкам, придавая углу j определенные значения и получая значения r из уравнения r = 2cos j.
Если j = 0 Þ r = 2cos0 = 2.
| j = p/6, | Þ r = 2cosp/6 = 2  /2 =  ≈ 1,7
|
| j = p/4, | Þ r = 2cosp/4 = 2  /2 = ≈ 1,4
|
| j = p/3, | Þ r = 2cosp/3 = 2 · ½ = 1. |
| j = p/2, | Þ r = 2cosp/2 = 2·0 = 0. |
Если далее рассматривать углы из интервала (p/2; 3p/2), то значения r будут отрицательными, так как в этом промежутке cosj < 0. Это означает, что в области изменения j от p/2 до 3p/2 нет точек данной линии.
Если
| j = –p/2 | , то r = 0 |
| j = –p/3 | , то r = 1 |
| j = –p/4 | , то r = 2 /2 = ≈ 1,4.
|
| j = –p/6 | , то r = 2 /2 = ≈ 1,7
|
Запишем полученные данные в таблицу
| j | p/6 | p/4 | p/3 | p/2 | –p/2 | –p/3 | –p/4 | –p/6 | |
| r | ≈1,7
| ≈1,4
| ≈1,4
| ≈1,7
|
Далее из полюса проводим лучи и откладываем на них соответствующие значения r. Соединяя полученные точки плавной линией, строим заданную кривую
Легко доказать, что построенная кривая является окружностью радиуса 1 с центром в точке (1, 0), лежащей на полярной оси. Действительно, выразив r и cosj и подставив их в уравнение кривой r = 2cosj, получим: x 2 + y 2 = 2 x или (x – 1)2 + y 2 = 1.
Пример. Построить линию, заданную уравнением x 2 + y 2 = 4 y, перейдя в полярную систему координат.
Решение: Преобразуем данное уравнение, используя формулы
x = r cos j, y = r sin j, получим: r 2cos2j + r 2sin2j = 4 r sin j Þ
r 2(cos2j + sin2j) = 4 r sin j Þ r 2 = 4 r sin j Þ r = 4sin j.
Построим эту линию по точкам. Так как r ≥ 0, то 4sin j ≥ 0 Þ 0 ≤ j ≤ p.
Для вычисления значений r составляем таблицу:
и откладываем на них соответствующие значения r. Соединим полученные точки плавной линией. Построенная кривая является окружностью радиуса 2 с центром в точке M 0(0, 2).