Теоретического материала и ссылки на литературу

МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра высшей математики

и программного обеспечения ЭВМ

 

 

МАТЕМАТИКА

Часть 5.

 

Задания на контрольную работу по теме

«Последовательности и ряды. Гармонический анализ»

И методические указания к ее выполнению

Для студентов-заочников всех специальностей

 

 

Мурманск

2007 г.

 

Составитель – Котов Алексей Алексеевич, канд. техн. наук, доцент каф. Высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ.

 

Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой

«30» мая 2007 г., протокол № 7.

 

Рецензент: Кацуба Валентина Сергеевна, канд. физ.-мат наук, доцент каф. Высшей математики и программного обеспечения ЭВМ

 

 

ÓМурманский государственный технический университет, 2007

 

Оглавление

Введение ………………………………………………………………… 4

Задания на контрольную работу по теме «Последовательности и

ряды. Гармонический анализ» ……………………………………………….. 5

Состав теоретического материала, необходимого для выполнения

работы, и ссылки на литературу ……………………………………………… 9

Справочный материал к выполнению контрольной работы ………… 11

1. Основные понятия о числовых рядах и определения. ………………………….. 11

2. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. ……………… 12

3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. ……………. 13

4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. ……………….. 15

5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. ………………………………… 15

6. Функциональные ряды. …………………………………………………………... 15

7. Степенные ряды. Область и радиус сходимости степенного ряда. …………… 16

8. Ряды Тейлора и Маклорена. ……………………………………………………… 17

9. Применение степенных рядов для вычисления функций и определенных

интегралов. ………………………………………………………………………… 19

10. Ряды Фурье. ………………………………………………………………………. 19

Решение примерного варианта ………………………………………… 22

Литература ……………………………………………………………… 29

 

Введение

 

Курс математики, изучаемый студентами Мурманского государственного технического университета, включает в себя разделы, необходимые для успешного освоения общеобразовательных, общетехнических и специальных дисциплин, для будущей работы по выбранной специальности, а также для формирования целостного мировоззрения.

Основной формой изучения этого курса студентами-заочниками является самостоятельная работа с учебными материалами: чтение учебников, решение типовых задач в соответствии с образцами, приведенными в руководствах по решению задач, выполнение и защита плановых контрольных работ.

В настоящем пособии содержатся задания на контрольную работу по теме «Последовательности и ряды. Гармонический анализ», перечень соответствующих этой теме вопросов теоретического материала со ссылкой на параграфы рекомендуемых учебников, необходимый для решения задач справочный материал и решение примерного варианта контрольной работы. В конце приведен список рекомендуемой литературы.

К выполнению контрольной работы следует приступать только после освоения теоретического материала, иначе самостоятельное решение задач окажется либо просто невозможным, либо весьма трудоемким и неэффективным. Выполнение контрольной работы по теме «Последовательности и ряды. Гармонический анализ» должно привести студента к овладению методами анализа сходимости числовых рядов, способами нахождения областей сходимости степенных рядов, приобретению навыков приближенных вычислений с помощью рядов, а также к получению понятия об аппроксимации функций гармониками ряда Фурье.

 

Задания на контрольную работу по теме

«Последовательности и ряды. Гармонический анализ»

Контрольная работа состоит из шести задач. Задание на каждую задачу состоит из формулировки задачи и десяти вариантов исходных данных. Студент выбирает свой вариант по последней цифре номера своей зачетной книжки.

Работа должна быть выполнена в школьной тетради или на листах формата А4 с односторонним заполнением. На титульном листе должны быть указаны тема контрольной работы, фамилия, имя, отчество студента, номер группы, номер зачетной книжки.

Решение каждой задачи должно начинаться с ее номера, формулировки задачи, записи исходных данных. Далее решение должно сопровождаться ссылками на применяемые свойства, теоремы, формулы и другими необходимыми пояснениями. Закончить решение каждой задачи следует записью ответа.

Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда.

 

Номер варианта	Исследуемые ряды	Номер варианта	Исследуемые ряды
	а) ; б) .		а) ; б) .
	а) ; б) .		а) ; б) .
	а) ; б) .		а) ; б) .
	а) ; б) .		а) ; б) .
	а) ; б) . .		а) ; б) .

 

 

Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда.

 

Номер варианта	Исследуемые ряды	Номер варианта	Исследуемые ряды

 

 

Задача 3. Данную функцию представить в виде степенного

ряда по степеням (x – a), где а – данное число.

 

№ варианта	Функция и точка	№ варианта	Функция и точка

 

Задача 4. Вычислить приближенно с заданной точностью

значение функции при данном значении аргумента

с помощью разложения функции в степенной ряд.

 

№ варианта	Функция, значение аргумента, точность вычисления	№ варианта	Функция, значение аргумента, точность вычисления
	при ;		при ;
	при ;		при ;
	при ;		при ;
	при ;		при ;
	при ;		при ;

 

Задача 5. Вычислить приближенно с заданной точностью

определенный интеграл с помощью разложения

подынтегральной функции в степенной ряд.

 

№ варианта	Интеграл, точность вычисления	№ варианта	Интеграл, точность вычисления

 

Задача 6. Данную функцию разложить в ряд Фурьев

заданном интервале.

 

№ варианта	Функция, интервал	№ варианта	Функция, интервал
	;
			;
	;

 

Состав

теоретического материала и ссылки на литературу

 

№ задачи	Тема	Литература
	Определение числового ряда. Основные понятия: общий член, частичная сумма, сумма ряда, сходимость и расходимость. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Знакопеременные числовые ряды, их абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда	[1]: гл.XIII, §59; [2]: гл.XVI, §1,2.   [1]: гл.XIII, §60; [2]: гл.XVI, §3-6.     [1]: гл.XIII, §61; [2]: гл.XVI, §7,8.
	Функциональный ряд: определения и основные понятия. Область сходимости функционального ряда. Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Способы определения радиуса сходимости степенного ряда.	[1]: гл.XIV, §62; [2]: гл.XVI, §9.   [1]: гл.XIV, §63; [2]: гл.XVI, §13,14.
	Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции . Разложение в ряд Маклорена функций и . Области сходимости этих рядов. Разложение в ряд Маклорена биномиальной функции ; область сходимости этого ряда. Разложение в ряд Маклорена функций ; области сходимости этих рядов.	[1]: гл.XIV, §63; [2]: гл.XVI, §14. [1]: гл.XIV, §64; [2]: гл.XVI, §15-17.     [1]: гл.XIV, §64; [2]: гл.XVI, §19,20.
	Применение степенных рядов для приближенного вычисления функций. Оценка погрешности.	[1]: гл.XIV, §65; [2]: гл.XVI, §20,21.
	Применение степенных рядов для приближенного вычисления определенных интегралов. Оценка погрешности.	[1]: гл.XIV, §65; [2]: гл.XVI, §21.
	Тригонометрический функциональный ряд. Тригонометрический ряд для функции, заданной на отрезке Теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье для функции, заданной на отрезке Ряд Фурье для функции с периодом . Ряд Фурье для функции с произвольным периодом. Ряды Фурье для четной и нечетной функции. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в интервале .	[1]: гл.XV, §66,67; [2]: гл.XVII, §1,2.   [2]: гл.XV, §67; [1]: гл.XVII, §3-5.     [2]: гл.XV, §67; [1]: гл.XVII, §6.

 

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами

изданий в списке рекомендуемой литературы.

 

Справочный материал