1. Основные понятия о числовых рядах и определения.
Числовой последовательностью называется упорядоченный набор нумерованных чисел , представляющая собой функцию
,
(1)
заданную на множестве натуральных чисел. Числа называются соответственно первым, вторым и так далее членами последовательности. Число
, задаваемое формулой (1), называется общим членом последовательности.
В последовательностях и рядах широко используется функция натурального аргумента
,
представляющая собой произведение первых натуральных чисел. Обозначение
читается как «эн факториал».
Пусть u1, u2, u3,…, un,…, где un = f(n), - бесконечная числовая последовательность. Тогда выражение
![]() | (2) |
называется числовым рядом.
Числа называются членами ряда. При этом
![]() ![]() |
называется общим членом ряда. Ряд считается заданным, если задана формула для . Нумерация членов ряда, вообще говоря, может начинаться с любого целого числа.
Сумму первых членов ряда по n -ный включительно обозначают Sn и называют n -ной частичной суммой ряда, т.е.
![]() |
Сумму остальных слагаемых, начиная с - го, называют n-ным остатком числового ряда и обозначают
, т.е.
![]() |
Согласно определению (2), остаток числового ряда можно рассматривать как самостоятельный числовой ряд.
Предел последовательности частичных сумм при
, если он существует, называется суммой ряда и обозначается буквой S, т.е.
![]() |
Если существует, т.е. если сумма S есть конечное число, то говорят, что ряд (2) сходится. В противном случае говорят, что ряд (2) расходится.
Частный случай числового ряда – геометрический ряд, представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:
![]() |
Его частичная сумма:
![]() |
При этом если , то геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, и геометрический ряд имеет конечную сумму
![]() |
В случаях, когда , геометрический ряд расходится, т.е. конечной суммы не имеет.
2. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости.
Свойство 1.
Если сходится ряд
![]() | (3) |
то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа его членов. Наоборот, если сходится ряд, полученный из данного путем отбрасывания конечного числа его членов, то сходится и данный ряд.
В частном случае, когда речь идет об отбрасывании первых членов ряда, свойство можно сформулировать так: если сходится ряд (3), то сходится и ряд
![]() |
и наоборот (m – конечное число первых отброшенных членов).
В более широком смысле данное свойство можно сформулировать следующим образом: отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.
Свойство 2.
Если сходится ряд
![]() |
и его сумма равна , то сходится и ряд
,
где a – некоторое число, и сумма его равна .
Свойство 3.
Если сходятся ряды
и
,
и их суммы равны соответственно и
, то сходится и ряд
,
и сумма его равна .
Необходимый признак сходимости.
Если ряд
сходится, то его общий член при
стремится к нулю, т.е.
.
3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Знакоположительным называется такой числовой ряд, все члены которого положительны.
Первый признак сравнения(признак сравнения в непредельной форме).
Пусть даны два ряда с положительными членами:
(4)
и
, (5)
причем каждый член ряда (4) не превосходит соответствующего члена ряда (5), т.е.
,
. (6)
Тогда если сходится ряд (5), то сходится и ряд (4); если расходится ряд (4), то расходится и ряд (5).
Этот признак справедлив и для случая, когда условие (6) начинает выполняться не при , а с любого значения номера
.
Второй признак сравнения(признак сравнения в предельной форме).
Пусть для рядов (4) и (5) существует предел
.
Тогда если , то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся; если
и ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если же
и ряд (5) расходится, то расходится и ряд (4).
Ряды, сходимость или расходимость которых полезно запомнить для применения признаков сравнения.
Гармонический ряд: ; этот ряд расходится.
Обобщенный гармонический ряд (или ряд Дирихле): ; этот ряд расходится при
и сходится при
. Рассмотренный выше гармонический ряд является частным случаем ряда Дирихле при
.
Признак Даламбера.
Если для ряда с положительными членами
существует предел отношения последующего члена к предыдущему
,
то этот ряд сходится при и расходится при
.
При возможны оба случая, т.е. исследование такого ряда по признаку Даламбера не дает однозначного ответа на вопрос о сходимости.
Радикальный признак Коши.
Если для ряда с положительными членами
существует предел
,
то этот ряд сходится, если , и расходится, если
.
При возможны оба случая, т.е. исследование такого ряда по радикальному признаку Коши не дает однозначного ответа на вопрос о сходимости.
Интегральный признак Коши.
Ряд с положительными членами
, (7)
где , и
- непрерывная монотонно убывающая при
функция, сходится, если сходится несобственный интеграл
. (8)
Если же интеграл (8) расходится, то расходится и ряд (7).
4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.
Числовой ряд называется знакопеременным, если он содержит как положительные, так и отрицательные члены, причем количества и тех и других бесконечны.
Знакопеременный ряд
, (9)
сходится, если сходится ряд, составленный и модулей его членов:
. (10)
При этом говорят, что ряд (9) сходится абсолютно. Если же ряд (10) расходится, то ряд (9) может как сходиться, так и расходиться. В случае его сходимости говорят, что он сходится неабсолютно, или условно.
5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Знакочередующиеся ряды представляют собой частный случай знакопеременных рядов, когда знаки членов «плюс» и «минус» поочередно меняются. Если считать все числа положительными, то знакочередующийся ряд в общем виде можно записать таким образом:
,
(11)
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, и общий член ряда по модулю стремится к нулю.
Таким образом, для сходимости знакочередующегося ряда (11) достаточно выполнения двух условий:
1) ;
2) .
Следствия из теоремы Лейбница:
1) сумма сходящегося знакочередующегося ряда, записанного в форме (11), положительна и меньше его первого члена:
; (12)
2) если ряд (11) сходится по признаку Лейбница, то его остаток
по модулю меньше своего первого члена: .
6. Функциональные ряды.
Функциональным называется ряд, члены которого суть функции переменной :
, (13)
Функция
называется частичной суммой ряда (13). Предел частичной суммы при , если он существует как функция аргумента
, называется суммой функционального ряда:
.
При этом говорят, что ряд (13) сходится. Значение , при котором ряд (13) сходится, т.е. сходится числовой ряд
, называется точкой сходимости функционального ряда. Множество значений аргумента
, при которых функции
определены, и ряд
сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Функция
называется остатком функционального ряда.
7. Степенные ряды. Область и радиус сходимости степенного ряда.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
, (14)
где a, A0, A1, A2, …, An, … - действительные числа.Частный случай степенного ряда при :
.
Теорема Абеля. Если степенной ряд (14) сходится при , то он сходится, причем абсолютно, при любом x, удовлетворяющем неравенству
. (15)
Если же ряд (14) расходится при , то он расходится и при любом x, удовлетворяющем неравенству
. (16)
Поясним формулировку теоремы Абеля. После несложных преобразований условия (15) и (16) можно соответственно записать в виде
,
.
Отсюда следует, что число в окрестности точки a образует симметричный относительно нее интервал. При этом если ряд сходится при
, то гарантирована его сходимость и внутри интервала. Если же он расходится при
, то он обязательно расходится и во всех точках вне интервала. Таким образом, теорема Абеля фактически устанавливает существование симметричного относительно точки
интервала абсолютной сходимости степенного ряда. Половина его длины обозначается R и называется радиусом сходимости, а точка
- центром сходимости.
Радиус сходимости R может принимать значения от 0 до , т.е.
. Интервал абсолютной сходимости может быть записан в виде
. Сходимость ряда в точках
и
должна быть исследована особо, и в случае ее установления соответствующая граница добавляется к интервалу, образуя область сходимости.
Применив к степенному ряду признак сходимости Даламбера, для радиуса сходимости можно получить формулу
. (17)
Эта формула справедлива только в тех случаях, когда ряд содержит все целые степени разности , т.е. не имеет нулевых коэффициентов.
Если же для анализа сходимости степенного ряда применить радикальный признак Коши, то получится формула
.
Теорема. Любой степенной ряд внутри его интервала сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать; при этом его радиус сходимости сохраняется, а сумма ряда также интегрируется или дифференцируется.
8. Ряды Тейлора и Маклорена.
Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд
![]() | (18) |
При этом говорят, что ряд Тейлора построен для в точке
.
Остаток ряда Тейлора может быть записан в форме Лагранжа:
![]() ![]() |
Если функция бесконечно дифференцируема в некоторой области
и при этом в этой области выполняется условие
![]() ![]() |
то ряд (17) в данной области сходится к функции , т.е. справедливо равенство
![]() |
Частный случай ряда Тейлора при называется рядом Маклорена. Остаток ряда Маклорена в форме Лагранжа имеет вид:
![]() ![]() |
а разложение функции в ряд Маклорена, при условии , выглядит следующим образом:
![]() |
Если , то ряд Тейлора (Маклорена), даже если он сходится, имеет сумму, отличную от
.
Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций, представленные ниже вместе с их областями сходимости, полезно запомнить для их применения при разложении других, более сложных функций.
.
.
.
.
Последний ряд называется биномиальным, т.к. функция, для которой построен этот ряд, представляет собой бином (двучлен) произвольной степени . Гарантированная область сходимости биномиального ряда указана для любых значений
; для некоторых значений она может быть расширена в ту или другую сторону (или в обе) включением в нее границы интервала.
Частные случаи биномиального ряда выглядят следующим образом:
.
.
Из первого частного случая могут быть получены ряды еще для двух часто встречающихся в практических задачах функций:
;
.
9. Применение степенных рядов для вычисления функций и определенных интегралов.
Для вычисления значения функции при данном значении аргумента можно воспользоваться разложением этой функции в степенной ряд. В частности, удобно воспользоваться приведенными в предыдущем пункте разложениями в ряд Маклорена функций
.
Если значение аргумента
принадлежит области сходимости, то после разложения функции в ряд и подстановки
искомое значение функции представляет собой сумму числового ряда. Поскольку полную сумму ряда, представляющую собой точное значение функции, найти, как правило, затруднительно, то в этом ряде сохраняется такое количество первых членов, которое гарантирует необходимую в данном конкретном случае точность. Точность вычислений задается обычно одной значащей цифрой в каком-либо разряде. Так, запись
означает, что точное значение величины
находится в пределах от 5,39 до 5,43. Это можно записать следующим образом:
. Другими словами, заданная точность
- это та погрешность, в пределах которой приближенное значение может отличаться от точного.
Для приближенного вычисления определенного интеграла нужно разложить в степенной ряд подынтегральную функцию, проинтегрировать степенной ряд почленно и сохранить в ряде достаточное для обеспечения заданной точности количество его первых членов; при этом область интегрирования не должна выходить за рамки области сходимости ряда.
10. Ряды Фурье.
Функциональный ряд вида
(19)
называется тригонометрическим рядом.
Если коэффициенты и
вычислены по формулам
,
,
, (20)
то тригонометрический ряд (19) представляет собой ряд Фурье для функции , заданной на отрезке
.
Теорема Дирихле. Если - кусочно гладкая на отрезке
функция, то ее ряд Фурье сходится к функции
во всех точках, где она непрерывна. В точках разрыва
ряд сходится к значению
, а на концах интервала – к значению
.
В силу теоремы Дирихле для функции, заданной на отрезке и для периодической функции с периодом
в точках непрерывности справедливо равенство:
,
где коэффициенты и
вычисляются по формулам (20).
Для четной функции, заданной на отрезке или для четной с периодом с периодом
коэффициенты
при нечетных членах ряда Фурье оказываются нулевыми, и ряд принимает вид
,
где
;
.
Аналогично для нечетных функций:
;
.
Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке и для периодической функции с периодом
:
,
где
,
,
.
Здесь для четных функций:
, где
,
;
для нечетных функций:
, где
.
Если требуется представить рядом Фурье функцию, заданную на отрезке , то ее формально можно доопределить четным или нечетным образом в промежутке
и применить приведенные выше формулы.
Решение примерного варианта
Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда.
а) .
К данному знакоположительному ряду применим признак Даламбера:
; ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
б) .
Исследуем данный знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость, рассмотрев ряд, составленный из модулей его членов:
.
Полученный знакоположительный ряд сравним по второму признаку сравнения с гармоническим рядом , про который известно, что он расходится:
.
Предел существует и не равен нулю; следовательно, согласно признаку, исследуемый ряд, как и гармонический, тоже расходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд абсолютной сходимости не имеет.
Проверим теперь, обладает ли исходный знакочередующийся ряд условной сходимостью. Для этого используем признак Лейбница:
;
, т.е. для любых
выполняется условие
.
Оба условия признака Лейбница выполняются, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится. Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.
Ответ: ряд сходится условно.
Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда.
.
Здесь центр сходимости . Найдем радиус сходимости по формуле (16), полученной из признака Даламбера:
.
Так как при функции
и
являются эквивалентными бесконечно малыми, то при
эквивалентны бесконечно малые
и
, а также
и
. Поэтому
.
По найденному радиусу сходимости получаем гарантированный интервал абсолютной сходимости:
.
Исследуем сходимость ряда на границах этого интервала.
· .
Этот знакочередующийся ряд не имеет абсолютной сходимости, т.к.
, и ряд
расходится (второй, предельный признак сравнения). В то же время для него выполняются условия
и
, т.к.
- возрастающая функция. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница, т.е. исходный степенной ряд в т.
сходится условно.
· .
Этот знакоположительный числовой ряд также можно сравнить с расходящимся рядом по второму признаку сравнения, из чего следует, что ряд
расходится.
Ответ: область сходимости данного степенного ряда: .
Задача 3. Данную функцию представить в виде степенного
ряда по степеням (x – a), где а – данное число.
.
Требуется разложить функцию по степеням двучлена . Обозначим его новой переменной:
. Тогда
, и
. Последнее выражение представим в виде
и введем еще одну переменную:
. После этого
. Теперь для функции
применим ее известное разложение в ряд Маклорена (см. справочную информацию):
.
В последнем разложении возвратимся к переменной и далее к исходной переменной
:
.
Найдем теперь область сходимости. Для переменной ее составляет интервал
, т.е.
. Тогда
и
. Отсюда получаем, что
.
Ответ:
,
.
Задача 4. Вычислить приближенно с заданной точностью
значение функции при данном значении аргумента
с помощью разложения функции в степенной ряд.
при
.
По условию задачи требуется вычислить с точностью до четвертого знака после запятой. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции
:
.
Подставим сюда заданное значение :
,
0, 1, 2, …. (а)
Здесь в правой части при вычислении нужно учесть такое количество первых членов, чтобы остаток не превышал заданной погрешности: . При этом ряд в правой части (а) получился знакочередующимся, и для него модуль остатка меньше первого члена этого остатка:
. Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно выполнить условие
. (б)
Поскольку
,
то условие (б) принимает вид
, или
.
Методом подбора легко убедиться, что последнее условие начинает выполняться с номера :
,
.
Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно вычислить сумму первых шести членов ряда, с нулевого по пятый:
.
Ответ: .
Задача 5. Вычислить приближенно с заданной точностью
определенный интеграл с помощью разложения
подынтегральной функции в степенной ряд.
.
Воспользуемся известным разложением в ряд логарифмической функции:
.
Заменим в этой формуле на
:
.
Пересчитаем область сходимости:
.
Констатируем, что интегрирование требуется произвести в пределах области сходимости. Следовательно, ряд, которым представлена подынтегральная функция, можно интегрировать почленно. Выполним это:
,
0, 1, 2, …
Полученный ряд оказался знакочередующимся. Поэтому используем то же самое условие обеспечения заданной точности, что и в предыдущей задаче:
. (а)
Здесь
,
поэтому минимально необходимое находим из условия
, или
:
,
.
Из последнего вытекает, что для обеспечения заданной точности достаточно просуммировать первые шесть членов ряда:
.
Ответ: .
Задача 6. Данную функцию разложить в ряд Фурьев
заданном интервале.
, (-1, 1).
Легко убедиться, что в заданном интервале функция непрерывна и, следовательно, может быть представлена своим рядом Фурье в смысле теоремы Дирихле. Кроме того, в рассматриваемом интервале она четная, поэтому ее ряд Фурье должен содержать только четные тригонометрические функции, т.е. косинусы. На этих основаниях записываем:
,
. (а)
Находим коэффициенты.
.
.
Т.к.
, то
. Тогда
.
Далее,
,