Дисциплина: ЕН.01 Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Группа: ТЭЭО -19
Дата: 12.10. 2020
Преподаватель: Кулага Т.Ф.
Задание: Ф ото выполненной работы прислать по адресу: kitdistergo@mail.ua kitdisttpop@mail.ua. или https://vk.com/id596417775 личным сообщением
(Название файла с ответами: № занятия, дисциплина, группа, Фамилия, имя, студента).
Например: Иванов И.И., ТЭЭО -19, Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Сроки выполнения: 13.10.2020
Задания для дистанционного обучения будут выдаваться в день проведения занятия, согласно расписанию и подмен по адресу: https://s3320.nubex.ru/5989/ или VK https://vk.com/ ТЭЭО-19, https://vk.com/ ТПОП-19
Мотивация
«Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.
А.П. Конфорович.
Посмотреть и прослушать видеоурок на сайтах Школа InternetUrok.ru, на Youtube по ссылке:
1. https://www.youtube.com/watch?v=c6EvT2Gmxtk&ab_channel=%D0%92%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8
2. https://www.youtube.com/watch?v=a8kyQ4tInAI&ab_channel=%D0%9C%D1%80%D1%96%D1%8F%D0%A3%D1%80%D0%BE%D0%BA
Тема занятия: Исследование функции с помощью производной
Цель урока:
Обучающая
рассмотреть:
− свойства возрастания, убывания функции;
− определение точек экстремума функции, точек минимума и максимума функции;
− необходимое и достаточное условия существования экстремума функции;
− алгоритм исследования функции с помощью производной;
отработать умение:
− исследовать функцию на монотонность и экстремумы с помощью производной;
− строить эскиз графики функций с пом о щью производной.
Развивающая
развивать: аналитическое мышление, грамотную математическую речь;
умение сравнивать математические объекты, находить сходства и различия между ними, обобщать полученные знания.
Воспитательная
воспитывать у обучающихся: сознательную дисциплину, умение объективно оценивать свою работу и работу других;
умение взаимодействовать в группе, представлять свою работу, пояснять и аргументировать все этапы решения задачи.
Теоретические сведения
Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f'(x) ≥ 0, то функция у = f(x) возрастает на промежутке Х.
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f'(x) ≤ 0, то функция у = f(x) убывает на промежутке Х.
Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f'(x) = 0, то функция у = f(x) постоянна на промежутке Х.
| x0 |
| а) |
| max |
| б) |
| x0 |
| х |
| min |
| Рис. 1 |
f(x) ˂ f(x0).
Значение функции в точке максимума обозначают у max.
Определение. Точку х = x 0 называют точкой минимума функции у = f(x) (рис. 1,б), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство:
f(x) ˃ f(x0).
Значение функции в точке минимума обозначают у min.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Теорема 4. Если функция у = f(x) имеет точку экстремума х = x 0, то в этой точке производная равна нулю, или не существует.
| + |
| − |
| f'(x) |
| f (x) |
| х |
| х0 |
| min |
| Рис. 2 |
| х0 |
| х |
| – |
| + |
| f'(x) |
| f (x) |
| max |
Теорема 5. (достаточное условие экстремума). Пусть функция у = f(x) непрерывна на промежутке Х. Если во внутренней точке этого промежутка х = х 0 производная обращается в нуль или не существует и, проходя через эту точку, меняет свой знак, то в этой точке функция достигает экстремума (рис. 2).
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.
1. Найти производную f'(x).
2. Найти точки, в которых производная равна нулю f'(x) = 0 или не существует, и отметить их на числовой прямой.
3. Определить знак производной на получившихся промежутках.
4. По знаку производной определить характер монотонности функции и точки экстремума.
Пример. а) Исследовать функцию у = 
− 
+ 3 на монотонность и экстремумы, б) построить эскиз графика этой функции.
Решение. а) Выясним, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает. Исследуем знак производной:
| Х |
| f'(x) |
| f (x) |
| − |
| + |
| + |
− + 3)' = − 6х = 3х (х − 2).
3х (х − 2) = 0, x 1 = 0, x 2 = 2
| х |
| у |
у=  −  +3
|
| -1 |
| Рис.3 |
Чтобы построить эскиз график функции, найдем значение функции в точках экстремума 0 и 2.
f(0) = 
− 
+ 3 = 3, (0; 3);
f(2) = 
− 
+ 3 = 8 − 12 + 3 = − 1, (2; − 1).
2. С помощью производной исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
1. у = 
+ 
– 4х;
2. у = + 
– 6х;
Домашнее задание
· изучить лекцию
· составить конспект
· решить примеры
1. С помощью производной исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) у = – – 3х;
б) у = + – 2х;
· фото прислать на электронную почту техникума kitdisttpop@mail.ua
kitdisttpop@mail.ua или VK https://vk.com/feed с полным названием ФИО студента, группа (например - Иванов И.И., ТЭЭО-19, Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия)
Срок выполнения до 13.10.20
КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
Ответ оценивается отметкой «5», если:
· работа выполнена полностью;
· в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
· в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится в следующих случаях:
· работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
· допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
· допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
· допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Отметка «1» ставится в случае:
· полного незнания изученного материала, отсутствия элементарных умений и навыков.