Тема. Определение функции.
Основные свойства функции. Графики функции
Вопрос 3. Основные свойства функций
Вопрос 3. Основные свойства функций
1) Область определения функции
Область определения функции D(f) – это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
2) Область значений функции E(f) – это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
3) Нули функции
Нуль функции – это такое значение аргумента (х), при котором значение функции (у) равно нулю.
Для нахождения нулей функции необходимо приравнять аналитическое выражение функции к нулю и решить уравнение. Найденные корни данного уравнения и будут точками х, в которых функция равна нулю.
В нулях функции линия графика функции пересекает ось Ох.
4) Промежутки знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции – это такие множества значений аргумента (х), на которых значения функции (у): только положительны (линия графика функции лежит выше оси Ох) или только отрицательны (линия графика функции лежит ниже оси Оу).
5) Монотонность функции
Возрастающая функция (в некотором промежутке) – это функция, у которой б о льшему значению аргумента (х) из этого промежутка соответствует б о льшее значение функции (у).
Условие возрастающей функции можно записать с помощью аналитического выражения:
при х1 < х2 имеем f(x1) < f(x2).
Убывающая функция (в некотором промежутке) – это функция, у которой б о льшему значению аргумента (х) из этого промежутка соответствует м е ньшее значение функции (у).
Условие убывающей функции можно записать с помощью аналитического выражения:
при х1 < х2 имеем f(x1) > f(x2).
6) Четность (нечетность) функции.
Четная функция – это функция, у которой:
- область определения симметрична относительно начала координат (геометрический критерий);
- для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) (аналитический критерий).
- график четной функции симметричен относительно оси ординат (оси У).
Если выше указанные условия не выполняются, считаем, что функция не является четной.
Нечетная функция – это функция, у которой:
- область определения симметрична относительно начала координат;
- для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x).
- график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Если выше указанные условия не выполняются, считаем, что функция не является нечетной.
7) Ограниченность и неограниченность функции
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что
|f(x)| ≤ M – для всех значений x.
Если такого числа не существует, то эта функция – неограниченная.
8) Периодичность функции
Функция f(x) – периодическая, если существует такое, отличное от нуля, число T, при котором для любого x (из области определения функции) имеет место равенство:
f(x+T) = f(x) = f(x-T).
Такое наименьшее число называется периодом функции.
Примером периодических функций являются все тригонометрические функции.
9) Экстремумы функции
Экстремумами функции называются точки х, в которых функция имеет максимум хmax и или минимум функции хmin.
Точка х0 называется точкой минимума, если для всех хϵD(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство
f(x) ≥ f(x0).
На графике точки минимума – это абсциссы, в которых график выглядит как «ямка».
Точка х0 называется точкой максимума, если для всех хϵD(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство
f(x) ≤ f(x0).
На графике точки максимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «горка».
10) Наибольшее и наименьшее значение функции
Наибольшим и наименьшим значение функции унаиб. и унаименьш. называем значения у, в которых функция имеет самое большое или самое маленькое значение функции на заданном промежутке икс.
При этом, значениями функции унаиб. и унаименьш. могут стать и точки экстремумов функции.
Применение функций в экономике
Функции находят широкое применение в экономической теории и практике.
Спектр используемых в экономике функций весьма широк:
- от простейших линейных;
- до функций, получаемых по определенному алгоритму (с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени).
В экономических исследованиях используются линейные и нелинейные функции:
- дробно-рациональные (линейные),
- степенные (квадратичная, кубическая и т.д.),
- показательные (экспоненциальные),
- логарифмические и др.
Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также применять тригонометрические функции.
Наиболее часто в экономике используются следующие функции.
Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности (т.е. результата, эффекта некоторого действия) от уровня (интенсивности) этого действия.
Производственная функция — зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
Функция выпуска (частный вид производственной функции) — зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.
Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость издержек производства от объема выпуска продукции.
Функции спроса, потребления, предложения — зависимость объема спроса, потребления, предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.)
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
На примере заданной произвольной функции y=f(x)
дать количественную характеристику всех вышеперечисленных свойств, указав соответствующие:
- область определения функции;
- область значений функции;
- промежутки монотонности функции;
- представить определение четности функции;
- указать нули функции;
- указать промежутки знакопостоянства функции;
- показать пример определения периодичности данной функции;
- указать точки экстремума данной функции;
- определить наименьшее и наибольшее значение функции;
- определить ограниченность функции.