СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ
ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ
I. Контрольные вопросы для проверки уровня усвоения
1. Почему невозможно построить 100%-ный доверительный интервал, позволяющий оценить параметры генеральной совокупности?
2. В каких случаях для построения доверительного интервала можно применять t -распределение?
3. Почему при фиксированном объеме выборки п повышение доверительного уровня приводит к расширению доверительного интервала, что в свою очередь снижает точность оценки?
4. При каких условиях можно использовать односторонний, а не двусторонний интервал?
5. Когда следует оценивать общую сумму элементов генеральной совокупности, а не ее математическое ожидание?
6. Чем оценка разностей отличается от оценки математического ожидания?
II. Задачи и упражнения по разделам учебного модуля
Раздел II
2.1. Менеджер по качеству магазина стройматериалов хочет оценить фактический объем краски, содержащейся в литровых банках известной компании. Известно, что стандартное отклонение объема краски равно 0,02 литра. Менеджер выбрал 50 банок. Выборочный средний объем равен 0,995 литра.
1. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 99%.
2. Основываясь на решении вопроса 1, определите, стоит ли менеджеру жаловаться на завод-производитель и почему?
3. Допустим, что доверительный уровень интервала должен быть равен 95%. Как изменятся ответы на вопросы 1 и 2?
2.2. Менеджер контроля за качеством продукции на заводе, производящем электрические лампочки, желает оценить среднюю продолжительность работы лампочек из крупной партии. Номинальное стандартное отклонение равно 100 ч. Для контроля выбрана партия, состоящая из 64 лампочек, средняя продолжительность работы которых равна 350 ч.
1. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%.
2. Можно ли утверждать, что средняя продолжительность работы лампочек из анализируемой партии не меньше 400 ч? Обоснуйте свой ответ. Нет.
3. Объясните, почему продолжительность работы лампочки, равная 320 ч, считается допустимой, хотя она не попадает в построенный вами доверительный интервал.
Доверительный интервал является оценкой µ по выборке, состоящей из 64 лампочек, а не индивидуальной оценкой продолжительности работы лампочек.
5. Допустим, что стандартное отклонение продолжительности работы лампочек равно 80 ч. Как изменятся ответы на вопросы 1 и 2?
2.3. Отдел технического контроля на заводе, производящем газированные напитки, периодически контролирует фактический объем жидкости, содержащейся в двухлитровых бутылках. Известно, что стандартное отклонение объема жидкости в двухлитровой бутылке равно 0,05 л. Менеджер выбрал 100 двухлитровых бутылок. Выборочный средний объем составил 1,99 л.
1. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%.
2. Предположим, что выборочное среднее равно 1,97 л. Как изменится результат?
Раздел III
3.1. Одним из основных показателей качества автомобильных шин является износоустойчивость протектора. Этот показатель является относительным. В качестве репера износоустойчивости принимается шина, у которой этот показатель равен числу 100. Таким образом, шина с показателем износоустойчивости, равным 200, в среднем прослужит вдвое больше, чем репер. Ярославский шинный завод заявляет, что показатель износоустойчивости его шин равен 200. Выборочное среднее, вычисленное по случайной выборке, состоящей из 18 шин, равно 195,3, а выборочное стандартное отклонение — 21,4.
1. Предположим, что генеральная совокупность показателей износоустойчивости шин имеет нормальное распределение. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание этой генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%.
2. Стоит ли обществу потребителей обвинять компанию в сокрытии информации об износоустойчивости ее шин? Обоснуйте свой ответ.
3. Объясните, почему показатель износоустойчивости шины, равный 210, не является экстремальным значением, хотя он и не попадает в доверительный интервал.
3.2. Магазин канцтоваров желает оценить среднюю стоимость поздравительных открыток, хранящихся на складе. Выборочное среднее, вычисленное по случайной выборке, состоящей из 20 поздравительных открыток, равно 16,7 руб., а выборочное стандартное отклонение —3,2 руб.
1. Предположим, что генеральная совокупность цен имеет нормальное распределение. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание этой генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%.
2. Может ли ответ на вопрос 1 помочь владельцу магазина оценить среднюю стоимость товаров, хранящихся на его складе?
3.3. Один из основных критериев качества услуг, предоставляемых любой организацией, — скорость, с которой она реагирует на жалобы клиентов. Крупный универмаг, торгующий фурнитурой и коврами, за последние годы значительно расширился. В частности, отдел ковровых покрытий, в котором прежде работали 2 человека, теперь состоит из руководителя, измерителя и 15 продавцов. На протяжении последнего года компания получила 50 жалоб на работу этого отдела. Ниже приведены данные о количестве дней, прошедших со дня получения жалобы до принятия решения.
1. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание этой генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%.
2. Какие предположения должны выполняться при решении вопроса 1?
3. Можно ли утверждать, что предположения, сформулированные в вопросе 2, серьезно нарушаются? Аргументируйте свой ответ.
4. Как ответ на вопрос 3 влияет на оценку корректности доверительного интервала, построенного в вопросе 1?
3.4. С берегательным банкам разрешено осуществлять страхование жизни. В процедуру оформления страховки входят изучение запроса, проверка медицинской информации, дополнительные медицинские исследования и проверка информации, поступившей из органов МВД. Чтобы страхование жизни было прибыльным для банка, необходимо ускорить оформление страховки. Банк создал выборку, в которой указано время (в часах), затраченное на оформление 27 страховок в течение одного месяца.
1. Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий среднее время оформления страховки.
2. Какие предположения должны выполняться при решении вопроса 1?
3. Можно ли утверждать, что предположения, сформулированные в вопросе 2, серьезно нарушаются? Аргументируйте свой ответ.
Генеральная совокупность не является нормально распределенной.
Раздел IV
4.1. Телефонной компании необходимо оценить количество владельцев телефонных номеров, желающих установить дополнительную телефонную линию по сниженной цене. Для этого была создана случайная выборка, состоящая из 500 клиентов. Оказалось, что 135 владельцев телефонных номеров согласны оплатить эту услугу.
1. Постройте интервал, содержащий долю владельцев телефонных номеров, желающих установить дополнительную телефонную линию, доверительный уровень которого равен 99%.
4.2. В статье, недавно опубликованной в журнале «Работница»,утверждается, что женщины занимаются бизнесом, ради призвания, а не из-за денег. В опросе приняли участие 1274 женщины. 529 из них ответили, что работают ради призвания. Только 199 женщин заявили, что занимаются бизнесом, чтобы заработать больше денег.
1. Постройте интервал с 90%-м доверительным уровнем, содержащий долю женщин, которые работают по призванию.
2. Постройте интервал с 90%-м доверительным уровнем, содержащий долю женщин, которые работают, желая заработать больше денег.
4.3. Исследование, проведенное сотрудниками вуза, показало, что из 1110 студентов только 455 считают, что преподаватели относятся к ним лояльно
1. Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий долю студентов, считающих, что преподаватели относятся к ним лояльно.
2. Постройте 90%-ный доверительный интервал, содержащий долю студентов, считающих, что преподаватели относятся к ним лояльно.
3. Какой из этих интервалов шире? Аргументируйте свой ответ.
4.4. Проведенные в Королеве опыты показали, из 700 «забытых» кошельков, в которых лежала записка с фамилией и телефонным номером «хозяина», 178 раз вернули кошелек. Постройте 95%-ный доверительный интервал для доли «потерянных» кошельков, возвращенных «владельцам».
4.5. Опрос автомобилистов, использующих мобильные телефоны, показал, что 46% респондентов сбились с пути, а 10% заявили, что знают случаи, когда люди попадали в аварию, разговаривая по мобильному телефону. Предположим, что в исследовании приняли участие 500 респондентов.
1. Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий долю автомобилистов, которые сбились с пути, разговаривая по мобильному телефону.
2. Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий долю автомобилистов, знающих о случаях, когда люди попадали в аварию, разговаривая по мобильному телефону.
4.6. Опрос, проведенный среди 5000 работников ВАЗа, показал, что 2456 человек испытывают чувство неловкости, сообщая руководству о плохой работе своих коллег. 1954 работников ответили отрицательно.
1. Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий долю работников, которые испытывают чувство неловкости, сообщая руководству о плохой работе своих коллег.
2. Постройте 99%-ный доверительный интервал, содержащий долю работников, которые испытывают чувство неловкости, сообщая руководству о плохой работе своих коллег.
3. Уверены ли вы, что более половины работников ВАЗа испытывают чувство неловкости, сообщая руководству о плохой работе своих коллег?
4.7. На протяжении июня и июля 2001 года комиссия Европейского Союза провела опрос 6 543 взрослых европейцев. Среди опрошенных 56% заявили, что введение единой европейской валюты будет способствовать экономическому росту, а 73% точно знали дату ее введения (1 января 2002 года).
1. Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий долю взрослых европейцев, уверенных, что введение единой европейской валюты будет способствовать экономическому росту.
2. Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий долю взрослых европейцев, знающих точную дату введения единой европейской валюты.
Раздел V
5.1. В крупной компании планируется опрос сотрудников. Цель опроса — выяснить среднегодовую величину расходов на медицинские услуги. Администрация компании желает построить 95%-ный доверительный интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности с точностью ±50 руб. Предварительный опрос показал, что стандартное отклонение приближенно равно 400 руб.
1. Определите необходимый объем выборки.
2. Предположим, что администрация компании решила повысить точность прогноза до ±25 руб. Определите необходимый объем выборки.
5.2. Директор магазина стройматериалов желает оценить средний объем краски, содержащейся в банке, емкостью один литр с точностью ±0,004. Для этого он собирается построить 95%-ный доверительный интервал, предполагая, что стандартное отклонение равно 0,02 л. Определите необходимый объем выборки.
5.3. Инспектор по контролю качества продукции желает оценить среднюю продолжительность работы электрических лампочек с точностью ±20. Для этого он собирается построить 95%-й доверительный интервал, предполагая, что стандартное отклонение равно 100 ч. Определите необходимый объем выборки.
5.4. Метролог компании, производящей безалкогольные напитки, желает оценить средний объем жидкости в двухлитровых бутылках с точностью ±0,01 л. Для этого он собирается построить 95%-ный доверительный интервал, предполагая, что стандартное отклонение равно 0,05 л. Определите объем выборки.
5.5. Общество защиты прав потребителей желает оценить среднюю сумму, затраченную обычной семьей на оплату электричества за июль. Предварительные исследования, проведенные в других городах, показали, что стандартное отклонение равно 25 руб. Допустимая точность оценки равна ±5 руб. Необходимо построить 99%-й доверительный интервал, содержащий среднюю сумму затрат на электричество.
1. Определите необходимый объем выборки.
2. Предположим, что доверительный уровень равен 95%. Определите необходимый объем выборки.
5.6. Рекламное агентство, заключившее договор с местной радиостудией, желает оценить среднее время, которое слушатели ежедневно проводят перед радиоприемником. Предварительные исследования показали, что стандартное отклонение равно 45 мин.
1. Определите объем выборки, если допустимая точность оценки равна ±5 мин., а доверительный уровень — 90%.
2. Предположим, что доверительный уровень равен 99%. Определите необходимый объем выборки.
5.7. Компания, поставляющая газ в сельские районы, желает оценить среднее время ожидания своих потребителей. Определите необходимый объем выборки, если допустимая точность оценки равна ±5 дней, доверительный уровень — 95%, а стандартное отклонение равно 20 дней.
5.8. Социологическая служба желает оценить долю избирателей, собирающихся проголосовать на предстоящих выборах за демократическую партию. Необходимо построить 90%-ный доверительный интервал с точностью ±0,04.
1. Определите необходимый объем выборки.
2. Предположим, что доверительный уровень равен 95%. Определите необходимый объем выборки.
3. Предположим, что доверительный уровень равен 95%, а точность— ±0,03. Определите необходимый объем выборки.
4. Объясните, как объем выборки зависит от доверительного уровня и ошибки выборочного исследования. Аргументируйте свой ответ.
5.9. 40% семей в Королеве приобретают продукты на рынке, а 25% семей — в магазинах.
1. Определите объем выборки, необходимый для оценки доли семей, приобретающих продукты на рынке, если точность выборочного исследования равна ±0,02, а доверительный уровень — 95%.
2. Определите объем выборки, необходимый для оценки доли семей, приобретающих продукты в магазинах, если точность выборочного исследования равна ±0,02, а доверительный уровень — 95%.
3. Сравните результаты предыдущих решений. Объясните разницу между ними.
4. Предположим, вы планируете дальнейшие исследования. Можно ли использовать одну и ту же выборку, задавая респондентам оба вопроса одновременно, или следует сформировать две отдельные выборки? Аргументируйте свой ответ.
5.10. Согласно опросу, проведенному компанией «Прогноз», 35% жителей Москвы свой отпуск планируют с помощью Интернет? Предположим, что вы планируете свое исследование.
1. Определите объем выборки, необходимый для оценки доли жителей Москвы, планирующих свой отпуск с помощью Интернет, если точность выборочного исследования равна ±0,04, а доверительный уровень — 95%.
2. Определите объем выборки, необходимый для оценки доли жителей Москвы, планирующих свой отпуск с помощью Интернет, если точность выборочного исследования равна ±0,04, а доверительный уровень — 99%.
3. Определите объем выборки, необходимый для оценки доли жителей Москвы, планирующих свой отпуск с помощью Интернет, если точность выборочного исследования равна ±0,02, а доверительный уровень — 95%.
4. Определите объем выборки, необходимый для оценки доли жителей Москвы, планирующих свой отпуск с помощью Интернет, если точность выборочного исследования равна +0,02, а доверительный уровень — 99%. 5. Объясните, как изменение ошибки выборочного исследования и доверительного уровня влияют на требуемый объем выборки.
5.11. Мешают ли звонки мобильных телефонов во время презентации деловых проектов? В ходе опроса 450 бизнесменов ответили «Да» и только 50 ответили «Нет».
1. Постройте 95%-ный доверительный интервал для доли бизнесменов, считающих, что звонки мобильных телефонов мешают презентации деловых проектов.
2. Дайте интерпретацию доверительного интервала, построенного при решении вопроса 1.
3. Предположим, что вы планируете собственное исследование. Определите объем выборки, необходимый для оценки доли бизнесменов, считающих, что звонки мобильных телефонов мешают презентации деловых проектов, если точность выборочного исследования равна ±0,04, а доверительный уровень — 95%.
4. Предположим, что вы планируете собственное исследование. Определите объем выборки, необходимый для оценки доли бизнесменов, считающих, что звонки мобильных телефонов мешают презентации деловых проектов, если точность выборочного исследования равна ±0,04, а доверительный уровень — 99%.
5. Предположим, что вы планируете собственное исследование. Определите объем выборки, необходимый для оценки доли бизнесменов, считающих, что звонки мобильных телефонов мешают презентации деловых проектов, если точность выборочного исследования равна ±0,02, а доверительный уровень — 95%.
6. Предположим, что вы планируете собственное исследование. Определите объем выборки, необходимый для оценки доли бизнесменов, считающих, что звонки мобильных телефонов мешают презентации деловых проектов, если точность выборочного исследования равна ±0,02, а доверительный уровень — 99%.
7. Объясните, как изменение ошибки выборочного исследования и доверительного уровня влияют на требуемый объем выборки.
5.12. Исследование, проведенное службой качества крупного вуза, показало, что 2313 из 4449 студентов в течение семестра не пропускали занятий.
1. Постройте 95%-ный доверительный интервал для доли студентов, не пропускающих занятий в течение семестра.
2. Предположим, что вы планируете собственное исследование. Определите объем выборки, необходимый для оценки доли студентов, не пропускающих занятий в течение семестра, если точность выборочного исследования равна ±0,01, а доверительный уровень — 95%.
Раздел VI
6.1. Магазин канцелярских принадлежностей желает оценить общую стоимость 300 поздравительных открыток, хранящихся на складе. Выборочное среднее, вычисленное по случайной выборке, состоящей из 20 поздравительных открыток, равно 16,7 руб., а выборочное стандартное отклонение— 3,2 руб. Постройте интервал, содержащий общую стоимость поздравительных открыток, доверительный уровень которого равен 95%.
6.2. В крупной компании работают 3000 сотрудников. Администрация этой компании решила провести опрос и выяснить среднегодовую величину расходов на медицинские услуги. Для этого из генеральной совокупности сотрудников извлечена выборка, объем которой равен 10.
Постройте 90%-ный доверительный интервал, содержащий общую сумму, затраченную сотрудниками компании на медицинские услуги.
6.3. Отдел качества крупной складской сети организует проведение ежемесячной инвентаризации товаров. Выяснилось, что на момент проверки на складе хранилось 1546 предметов, из состава которых случайным образом были выбраны 50 предметов и вычислены средняя стоимость 
=252,28 и стандартное отклонение S = 93,67. Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий общую сумму товаров, хранящихся на складе.
6.4. К лиенты оптовых магазинов одежды часто получают скидки на приобретаемые ими товары. Из генеральной совокупности, состоящей из 4000 накладных, извлечена случайная выборка, содержащая 150 элементов. Оказалось, что в 13 случаях клиенты не получили скидок, которые им полагались. Объемы скидок, не полученных покупателями, перечислены в таблице.
| 6,45 | 15,32 | 97,36 | 230,63 | 104,18 | 84,92 | 132,76 |
| 66,12 | 26,55 | 129,43 | 88,32 | 47,81 | 89,01 |
Постройте 99%-ный доверительный интервал, содержащий общую сумму скидок, не полученных клиентами.
6.5. Компания проводит ежегодный аудит своей финансовой отчетности. В соответствии с правилами, принятыми в компании, любой чек становится действительным только после того, как будет подписан бухгалтером. Компания считает приемлемыми не более 4% нарушений. В ходе проверки из генеральной совокупности, состоящей из 10 000 записей, были извлечены 300 чеков, среди которых 11 оказались недействительными.
1. Постройте 95%-ный односторонний доверительный интервал, содержащий долю нарушений в финансовой отчетности.
2. Какой вывод должен сделать аудитор?