Сборник заданий
Для расчетно-графических работ
По математике
Для студентов заочного отделения всех направлений
Уфа 2017
Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 1 от 29 августа 2017 года)и заседанием кафедры математики (протокол № 10 от 28 июня 2017 года)
Составители:
доцент Ардуванова Ф.Ф., ст. преподаватель Зиянгирова С.Р.
Рецензент:
доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.
Ответственный за выпуск:
и.о. зав. кафедрой математики, доцент Бадретдинов И.Д.
Оглавление
| Введение | |
| Решение типовых задач Задание 1 | |
| Задание 2 | |
| Задание 3 | |
| Задание 4 | |
| Задание 5 | |
| Задание 6 | |
| Задание 7 | |
| Задание 8 | |
| Задание 9 | |
| Задание 10 | |
| Задание 11 | |
| Задание 12 | |
| Задание 13 | |
| Задание 14 | |
| Задание 15 | |
| Задание 16 | |
| Задание 17 | |
| Задание 18 | |
| Задание 19 | |
| Задание 20 | |
| Задание 21 | |
| Задание 22 | |
| Варианты индивидуальных заданий | |
| Библиографический список | |
Введение
Сборник заданий для выполнения расчетно-графических работ по математике предназначен для студентов заочного отделения всех направлений. Сборник включает в себя, помимо заданий, краткие указания к выполнению контрольных и расчетно-графических работ, образцы решения некоторых задач, контрольные задания.
Перед выполнением контрольной работы студенту необходимо изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы [1] – [3] и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящем сборнике. Большое количество образцов решенных задач дано в руководстве к решению задач [5] и [7]. Задачи для самостоятельного решения имеются как в представленных методических указаниях, так и в сборниках задач [4 ‑ 6].
Номер варианта по каждому заданию студент выбирает на усмотрение преподавателя: по номеру в списке студентов группы или по формуле 
,
где 
- номер варианта,
- номер задания,
- предпоследняя цифра шифра студента,
- последняя цифра шифра.
Пример.
Пусть шифр студента 1235, тогда:
номер варианта первого задания: 
= 
;
номер варианта второго задания: 
;
номер варианта третьего задания: 
;
номер варианта четвертого задания: 
.
Таким образом, студент, имеющий шифр 1235 должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом.
Если итоговая цифра по формуле получится число больше 30, то для определения варианта от полученной цифры вычитают 30.
Пример.
Пусть шифр студента 1298.
Номер варианта третьего задания: 
. Промежуток 36 ‑ 30=6. Таким образом, в третьем задании студент решает задачу вариант №6.
Решение типовых задач
Задание 1
Решить систему линейных уравнений
а) методом Крамера; б) методом Гаусса:
Решение:
а) Решим систему методом Крамера. Составим матрицу системы:
Вычислим определитель этой матрицы:
Находим определители 
получающиеся из исходного определителя заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов: 
Теперь используя формулы Крамера 
находим решение системы:
б) Решим систему уравнений методом Гаусса.
Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из системы уравнений.
Составим расширенную матрицу системы, в которую входят коэффициенты при переменных и свободные члены:
Чтобы исключить переменную 
из второго и третьего уравнений, умножим первую строку на (-2) и (-3) и полученные строки прибавим ко второй и третьей строке соответственно:
Чтобы исключить переменную 
из третьего уравнения, умножим вторую строку на (-1) и полученные строку прибавим к строке:
Получили систему уравнений, равносильную исходной системе, в которой первое уравнение содержит три переменных, второе - две, а третье - одну переменную:
Отсюда последовательно находим: 
Проверяем полученное решение, подставляя найденные значения в исходную систему:
Получили тождественные равенства, следовательно, система решена правильно.
Задание 2
Даны координаты вершин треугольника АВС A(-1; 2), B(5;-1), C(-4;-5).
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС, их угловые коэффициенты;
3) найти величину угла В;
4) уравнение медианы АЕ;
5) уравнение и длину высоты СД;
6) уравнение прямой, проведенной через точку Е, параллельно стороне АВ;
7) сделать чертеж.
Решение.
1) Расстояние d между точками 
и 
определяется по формуле
воспользовавшись, которой находим длину AB:
2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости 
, имеет вид
Подставляя в это уравнение координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:
(AB)
Угловой коэффициент 
прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом 
Имеем 
откуда 
, откуда 
.
Аналогично получим уравнение прямой BC и найдем ее угловой коэффициент:
Далее
, т.е. 
.
3) Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой
Подставив ранее вычисленные значения 
в эту формулу, находим:
| M |
| y |
| x |
| F |
| D |
| E |
| C |
| B |
| A |
Теперь воспользовавшись инженерным микрокалькулятором, получаем
4) Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е ‑ середины отрезка BC;
Теперь подставив в 
координаты точек A и B, получим уравнение медианы:
(AE)
5) Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку 
с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид
и условием перпендикулярности прямых AB и CD, которое выражается соотношением 
откуда 
Подставив в 
вместо k – значение 
, а вместо 
‑ координаты точки С, получим уравнение высоты CD:
(CD)
Для вычисления длины высоты CD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки 
до заданной прямой с уравнением 
,которая имеет вид
Подставив в эту формулу вместо 
‑ координаты точки C, а вместо A, B, C ‑ коэффициенты уравнения прямой AB, получаем
6) Так как искомая прямая EF параллельна прямой AB, то
. Подставив в уравнение 
, вместо 
, координаты точки E, а вместо k значение 
, получаем уравнение прямой EF:
(EF)
Для отыскания координат точки M решаем совместно уравнения прямых EF и CD:
Таким образом, 
7) Треугольник ABC, высота CD, медиана AE, прямая EF и точка M построены в системе координат xOу на рис. 1.
Задание 3
Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A (0; 0; 1), B (2; 3; 5), C (6; 2; 3), D (3; 7; 2).
Требуется:
1) Записать векторы 
в системе орт 
и найти модули этих векторов;
2) Найти угол между векторами 
;
3) Найти проекцию вектора 
на вектор 
;
4) Найти площадь грани 
;
5) Найти объем пирамиды 
;
6) Составить уравнение ребра 
;
7) Составить уравнение грани 
.
Решение: 1) Известно, что произвольный вектор a представляется в системе орт 
по формуле
(1)
где 
- координаты вектора 
в системе координат, порожденной ортами, причем
, 
.
Если заданы точки 
то для вектора 
координаты будут следующими 
, 
, то есть
(2)
Воспользовавшись формулой (2) и координатами заданных точек A, B, C, D, получим:
| А |
| В |
| С |
| D |
Если вектор 
задан формулой (1), то его модуль вычисляется следующим образом:
(3)
Используя формулу (3), получаем модули найденных векторов
, 
, 
.
2) Известна формула
где 
‑ скалярное произведение векторов и, которое можно вычислить следующим образом:
Имеем
то есть 
3) Известно, что
то есть в нашем случае
4) Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах 
, 
где 
– векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:
В нашем примере 
причем
Таким образом,
(кв.ед).
5) Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах 
можно найти по формуле
где 
- смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:
У нас 
, где
то есть 
.
6) Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки пространства 
и имеет вид:
(4)
Подставив в (4) Координаты точек A и C получим
то есть уравнение ребра AC окончательно запишется следующим образом:
или 
7) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 
можно записать в виде
Подставляя в него координаты точек A, B, C, получим
; 
Задание 4
Вычислить пределы:
;
г) 
; д) 
Решение:
а) 
б) 
Подставив предельное значение аргумента в заданное выражение, получим неопределенность вида 
, для раскрытия которой числитель и знаменатель дроби разложим на множители, найдя предварительно корни трехчленов.
в) 
Подстановка предельного значения х показывает, что имеем неопределенность вида 
, для раскрытия которой числитель и знаменатель дроби делим почленно на 
. При этом получим пределы вида 
и т. д., которые равны нулю.
.
г) Преобразуем данное выражение: 
В каждом сомножителе выполним несложные преобразования, позволяющие применить первый замечательный предел:
, или 
. Тогда
.
д) Преобразуем исходное выражение так, чтобы использовать второй замечательный предел: 
или 
.Выделим внутри скобки единицу, сделаем замену переменной и преобразуем показатель степени.
=
= 
= 
.
Задание 5
Найти производные функций:
Решение. При вычислении производных используют правила дифференцирования и таблицу производных.
Правила дифференцирования:
1. (с) 
=0 2. (u+v) =u +v 3. (uv) =u v+uv
4. (сu) = сu 5. 
.
Таблица производных основных элементарных функций:
1. 
, в частности: 
;
2. 
, в частности: 
;
3. 
, в частности: 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
;
11. 
.
а) Используя правило дифференцирования суммы функций и таблицу производных, получим:
.
б) Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций и формулами нахождения производной от показательной и логарифмической функции.
= 
.
в) Найти производную функции: 
.
Используем правило дифференцирования дроби и формулы нахождения производной от 
и показательной функции.
.
Задание 6
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график: a) 
.
Решение. При исследовании функции и построении ее графика полезно воспользоваться следующей схемой:
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика с осями координат, если это возможно.
3. Найти асимптоты графика функции.
4. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.
На основании полученного исследования построить график.
1. Область определения.
.
2. Асимптоты графика:
а) вертикальная 
б) наклонная 
, где
.
3. Найдем производную функции.
; 
; 
.
.
Определим знак производной в промежутках:
| xx | ( )
| (2, 4) | (4, 10) | (10, +  )
| |||
x 
| + | - | не сущ. | - | + | ||
 y
| max | min |
4. Найдем вторую производную функции.
 x
| ( )
| (4, + )
| |
 
| - | не сущ. | + |
| y
| 
| 
|
Точек перегиба графика функции нет.
По результатам исследования построим график функции.
| y |
| -4 |
| x |
Задание 7.
Найти неопределенный интеграл методом подстановки 
.
Решение. При нахождении неопределенных интегралов используется таблица интегралов:
| 1) |  ,  ,
| 7) | 
|
| 2) | 
| 8) | 
|
| 3) | 
| 9) | 
|
| 4) | 
| 10) | 
|
| 5) | 
| 11) | 
|
| 6) | 
| 12) | 
|
В нашем случае имеем
.
Задание 8
Найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата 
.
Решение:
Задание 9
Найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям: а) 
; б) 
.
Решение. а) Используем формулу для интегрирования по частям 
.
Пусть 
. Тогда 
Следовательно, 
=
= 
.
б) 
.
Задание 10
Найти неопределенный интеграл, пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие 
.
Решение.
.
После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:
или 
.
Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов
А, В и С, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:
.
В результате получим:
, для второго интеграла введем подстановку 
.
Окончательно, получим
.
Задание 11
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.
.
Решение: Найдем точки пересечения кривых 
, 
, 
. Используя формулу для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной кривыми 
, 
и прямыми 
:
| у = х2 ‑ 4х |
| у = 2х2 ‑ 3х ‑ 6 |
| у |
| х |
| ‑3 |
| 2 |
Задание 12
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью Ох, 
.
Решение: Найдем точки пересечения кривых 
, , .
| у = х2 |
| у |
| х |
| 6 |
| 2 |
| 6 |
| В |
| А |
| К |
| О |
, 
, 
; 
вокруг оси 
, получим тело вращения, объем которого находим по формуле:
.
Разобьем фигуру на две части: ОАК и АКВ. Применительно к нашему случаю, имеем объем всей фигуры
Задание 13
Найти частное решение уравнения 
, удовлетворяющее условию 
.
Решение: Запишем, что 
, тогда нное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Умножив обе части уравнения на dx и разделив на множитель (y+ 1), получим уравнение с разделёнными переменными.
или 
Интегрируя, имеет: 
In 
=In sin x +In C, y+1=С sin x, y=C sin x—1—общее решение заданного уравнения. Используя начальные условия, находим значения постоянной производной C.
2=Сsin 
—1; 2= C—1; C=3.
Следовательно, y=3sin x—1 есть частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Задание 14
Найти общий интеграл уравнения
Решение: Это однородное уравнение, приведем его к виду
т.к. 
Далее вводим новую функцию 
, полагая 
при этом 
и после подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными 
или 
Разделим переменные: 
и, интегрируя, найдем 
или 
. Исключая вспомогательную функцию 
, окончательно получим 
Задание 15
Решить уравнение 
Решение:
Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем 
тогда 
и данное уравнение преобразуется к виду:
или 
Так как одну из вспомогательных функций 
или 
можно взять произвольно, то выберем в качестве 
какой ‑ либо частный интеграл уравнения 
.
Тогда для отыскания 
получим уравнение: 
.
Решая первое уравнение, найдем 
. Разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:
Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем 
как общий интеграл этого уравнения: 
Зная 
и 
, находим искомую функцию 
.
Задание 16
Найти частное решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее начальным условиям:
Решение: Общий вид такого уравнения: 
, где 
и 
‑ действительные числа. Корни его характеристического уравнения 
могут быть:
1) действительными и различными: 
;
2) действительными и равными: 
;
3) комплексными: 
.
Им соответствуют следующие общие решения уравнения:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
а) Характеристическое уравнение 
имеет два различных вещественных корня 
, поэтому общее решение эт