Принцип неопределенности Гейзенберга

Лекция

Волновые свойства микрочастиц.

Дифракция электронов

Соотношение неопределенностей

Уравнение Шредингера

В 1923 году произошло примечательное событие, которое в значительной степени ускорило развитие квантовой физики.

Французский физик Л. де Бройль выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами.

Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связаны, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p, а с другой стороны, волновые характеристики – частота ν и длина волны λ.

Корпускулярные и волновые характеристики микрообъектов связаны такими же количественными соотношениями, как и у фотона:

Гипотеза де Бройля постулировала эти соотношения для всех микрочастиц, в том числе и для таких, которые обладают массой m. Любой частице, обладающей импульсом, сопоставлялся волновой процесс с длиной волны λ = h / p. Для частиц, имеющих массу,

 

В нерелятивистском приближении (υ << c)

Гипотеза де Бройля основывалась на соображениях симметрии свойств материи и не имела в то время опытного подтверждения. Но она явилась мощным революционным толчком к развитию новых представлений о природе материальных объектов. В течение нескольких лет целый ряд выдающихся физиков XX века – В. Гейзенберг, Э. Шредингер, П. Дирак, Н. Бор и другие – разработали теоретические основы новой науки, которая была названа квантовой механикой.

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году американскими физиками К. Девиссоном и Л. Джермером. Они обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся на кристалле никеля, дает отчетливую дифракционную картину, подобную той, которая возникает при рассеянии на кристалле коротковолнового рентгеновского излучения. В этих экспериментах кристалл играл роль естественной дифракционной решетки. По положению дифракционных максимумов была определена длина волны электронного пучка, которая оказалась в полном соответствии с формулой де Бройля.

В следующем 1928 году английский физик Дж. Томсон (сын Дж. Томсона, открывшего за 30 лет до этого электрон) получил новое подтверждение гипотезы де Бройля. В своих экспериментах Томсон наблюдал дифракционную картину, возникающую при прохождении пучка электронов через тонкую поликристаллическую фольгу из золота.

Упрощенная схема опытов Дж. Томсона по дифракции электронов. K – накаливаемый катод, A – анод, Ф – фольга из золота.

На установленной за фольгой фотопластинке отчетливо наблюдались концентрические светлые и темные кольца, радиусы которых изменялись с изменением скорости электронов (то есть длины волны) согласно де Бройлю

Картина дифракции электронов на поликристаллическом образце при длительной экспозиции (a) и при короткой экспозиции (b). В случае (b) видны точки попадания отдельных электронов на фотопластинку.

В последующие годы опыт Дж. Томсона был многократно повторен с неизменным результатом, в том числе при условиях, когда поток электронов был настолько слабым, что через прибор единовременно могла проходить только одна частица (В. А. Фабрикант, 1948 г.). Таким образом, было экспериментально доказано, что волновые свойства присущи не только большой совокупности электронов, но и каждому электрону в отдельности.

Впоследствии дифракционные явления были обнаружены также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств микрочастиц привело к выводу о том, что это универсальное явление природы, общее свойство материи. Следовательно, волновые свойства должны быть присущи и макроскопическим телам. Однако вследствие большой массы макроскопических тел их волновые свойства не могут быть обнаружены экспериментально. Например, пылинке массой 10^–9 г, движущийся со скоростью 0,5 м/с соответствует волна де Бройля с длиной волны порядка 10^–21 м, то есть приблизительно на 11 порядков меньше размеров атомов. Такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области. Этот пример показывает, что макроскопические тела могут проявлять только корпускулярные свойства.

Рассмотрим еще один пример. Длина волны де Бройля для электрона, ускоренного разностью потенциалов U = 100 В, может быть найдена по формуле

 

Это нерелятивистский случай, т. к. кинетическая энергия электрона eU = 100 эВ много меньше энергии покоя mc² ≈ 0,5 МэВ. Расчет дает значение λ ≈ 0,1 нм, то есть длина волны как раз оказывается порядка размеров атома. Для таких электронов кристаллическое вещество является хорошей дифракционной решеткой. Именно такие малоэнергичные электроны дают отчетливую дифракционную картину в опытах по дифракции электронов. В то же время такой электрон, испытавший дифракционное рассеяние на кристалле как волна, взаимодействует с атомами фотопластинки как частица, вызывая почернение фотоэмульсии в какой-то определенной точке. Таким образом, подтвержденная экспериментально гипотеза де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме коренным образом изменила представления о свойствах микрообъектов.

Всем микрообъектам присущи и волновые, и корпускулярные свойства, однако, они не являются ни волной, ни частицей в классическом понимании. Разные свойства микрообъектов не проявляются одновременно, они дополняют друг друга, только их совокупность характеризует микрообъект полностью. В этом заключается сформулированный знаменитым датским физиком Н. Бором принцип дополнительности. Можно условно сказать, что микрообъекты распространяются как волны, а обмениваются энергией как частицы.

С точки зрения волновой теории, максимумы в картине дифракции электронов соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. В области максимумов, зарегистрированных на фотопластинке, попадает большое число электронов. Но процесс попадания электронов в различные места на фотопластинке не индивидуален. Принципиально невозможно предсказать, куда попадет очередной электрон после рассеяния, существует лишь определенная вероятность попадания электрона в то или иное место. Таким образом, описание состояния микрообъекта и его поведения может быть дано только на основе понятия вероятности.

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрообъектов является важнейшей особенностью квантовой теории. В квантовой механике для характеристики состояний объектов в микромире вводится понятие волновой функции Ψ (пси-функции). Квадрат модуля волновой функции |Ψ|² пропорционален вероятности нахождения микрочастицы в единичном объеме пространства в заданном квантовом состоянии. Конкретный вид волновой функции определяется внешними условиями, в которых находится микрочастица. Математический аппарат квантовой механики позволяет находить волновую функцию частицы, находящейся в заданных силовых полях. Безграничная монохроматическая волна де Бройля есть волновая функция свободной частицы, на которую не действуют никакие силовые поля.

Дифракционные явления проявляются наиболее отчетливо, когда размеры препятствия, на котором происходит дифракция волн, соизмеримы с длиной волны. Это относится к волнам любой физической природы и, в частности, к электронным волнам. Для волн де Бройля естественной дифракционной решеткой является упорядоченная структура кристалла с пространственным периодом порядка размеров атома (приблизительно 0,1 нм). Препятствие таких размеров (например, отверстие в непрозрачном экране) невозможно создать искусственно, но для уяснения природы волн де Бройля можно ставить мысленные эксперименты.

Рассмотрим, например, дифракцию электронов на одиночной щели ширины D.

Дифракция электронов на щели. График справа – распределение электронов на фотопластинке.

Более 85 % всех электронов, прошедших через щель, попадут в центральный дифракционный максимум. Угловая полуширина θ₁ этого максимума находится из условия

D sin θ1 = λ.

 

Это формула волновой теории. С корпускулярной точки зрения можно считать, что при пролете через щель электрон приобретает дополнительный импульс в перпендикулярном направлении. Пренебрегая 15 % электронов, которые попадают на фотопластинку за пределами центрального максимума, можно считать, что максимальное значение p_y поперечного импульса равно

где p – модуль полного импульса электрона, равный, согласно де Бройлю, h / λ. Величина p при прохождении электрона через щель не меняется, т. к. остается неизменной длина волны λ. Из этих соотношений следует

 

Квантовая механика вкладывает в это простое на вид соотношение, являющееся следствием волновых свойств микрочастицы, чрезвычайно глубокий смысл. Прохождение электронов через щель является экспериментом, в котором y – координата электрона – определяется с точностью Δy = D. Величину Δy называют неопределенностью измерения координаты. В то же время точность определения y – составляющей импульса электрона в момент прохождения через щель – равна p_y или даже больше, если учесть побочные максимумы дифракционной картины. Эту величину называют неопределенностью проекции импульса и обозначают Δp_y. Таким образом, величины Δy и Δp_y связаны соотношением

Δy · Δpy ≥ h,

которое называется соотношением неопределенностей Гейзенберга. Величины Δy и Δp_y нужно понимать в том смысле, что микрочастицы в принципе не имеют одновременно точного значения координаты и соответствующей проекции импульса. Соотношение неопределенностей не связано с несовершенством применяемых приборов для одновременного измерения координаты и импульса микрочастицы. Оно является проявлением двойственной корпускулярно-волновой природы материальных микрообъектов. Соотношение неопределенностей позволяет оценить, в какой мере можно применять к микрочастицам понятия классической механики. Оно показывает, в частности, что к микрообъектам неприменимо классическое понятие траектории, так как движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Принципиально невозможно указать траекторию, по которой двигался какой-то конкретный электрон после прохождения щели и до фотопластинки в рассмотренном мысленном эксперименте.

Однако, при определенных условиях соотношение неопределенностей не противоречит классическому описанию движения тел, в том числе и микрочастиц. Например, электронный пучок в кинескопе телевизора при вылете из электронной пушки имеет диаметр D порядка 10^–3 см. В современном телевизоре ускоряющее напряжение U ≈ 15 кВ. Легко подсчитать импульс электрона: Этот импульс направлен вдоль оси трубки. Из соотношения неопределенностей следует, что электронам при формировании пучка сообщается неконтролируемый импульс Δp, перпендикулярный оси пучка: Δp ≈ h / D ≈ 6,6·10^–29 кг·м/с.

Пусть до экрана кинескопа электроны пролетают расстояние L ≈ 0,5 м. Тогда размытие Δl пятна на экране, обусловленное волновыми свойствами электрона, составит

 

Поскольку Δl << D, движение электронов в кинескопе телевизора можно рассматривать с помощью законов классической механики. Таким образом, с помощью соотношения неопределенностей можно выяснить, справедливы или нет законы классической физики в тех или иных случаях.

 

Принцип неопределенности Гейзенберга

В общем случае для микрочастиц невозможно определить все динамические переменные (импульс, координата энергия) одновременно и точно как для материальной точки. О траектории микрочастиц можно говорить лишь при определенных условиях.

1927 год Гейзенберг

Произведение неопределенностей двух сопряженных физических пеличин не может быть меньше постоянной Планка

Определение энергии с точностью требует времени такого, что

Для координаты и импульса

 

Уравнение Шредингера.

Чтобы устранить возникающее противоречие, надо было создать математический формализм, совместимый с атомизмом и правильно предсказывающим наблюдаемые волновые явления для микрочастиц.

Развивая идеи де Бройля, Шредингер (1926г.) получил знаменитое уравнение, исходя из оптико-механических аналогий.

Вывести уравнение невозможно. Каждой микрочастице Шредингер ставил в соответствии комплексную функцию, пси-функцию координат и времени, которая характеризует состояние частицы.

Вид функции получается из решения уравнения:

m – масса частицы

U – функция координат и времени, равная взятому с обратным знаком потенциалу силового поля, в котором находится частица

i – мнимая единица

Вид функции зависит от силового поля действующего ан частоту.

В случае стационарного силового поля

и U – имеет смысл потенциальной энергии частицы в силовом поле.

Тогда

Стационарное уравнение:

E – полная энергия частицы

Пси-функция обладает формально свойствами классических волн. Поэтому ее называют волновой функцией.

Физический смысл

– вероятность обнаружить частицу при заданном квантовом состоянии в момент времени t в объеме dV.

– плотность вероятности нахождения частицы в данный момент времени в единичном объеме пространства с координатами x, y, z в заданном квантовом состоянии.

 

 

– функция не описывает траекторию движения и не определяет координаты микрочастицы. Она лишь предсказывает, с какой вероятностью частица может находиться в разных точках пространства.

условие нормировки -функции

 

 

I. Случай свободной частицы U=0

Одномерный случай

В комплексном виде, с учетом множителя :

Это и есть волна де Бройля с

В данном случае – амплитуда постоянна, т.е. вероятность нахождения частицы в любой точке пространства постоянна, т.е. т.к. E и p нам точно известны.

1. Для свободной частицы решение есть плоская монохроматическая волна.

2. E принимает любое значение.

 

II. Частица в «потенциальном ящике»

При

Уравнение Шредингера имеет вид

За пределы ящика частица попасть не может.

Значит – граничные условия

 

Решение:

Граничные условия

Это возможно при условии:

(n=1, 2, 3…) n ≠0, иначе

n=1, 2, 3…

 

 

Нормальные условия нормировки

Физический смысл полученного решения

 

По кинетическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.

По квантовой механике

а) энергия квантуется;

б) существует наиболее вероятные положения частицы.

 

 

Если яма конечной глубины → туннельный эффект при E<U, хотя вероятность события мала.

 

 

 

Принцип запрета Паули.

 

Оказалось, что разрешенное квантовое состояние электрона в атоме характеризуется целым набором квантовых чисел (набором соответствующих физических величин).

1. n= 1,2,….. - главное квантовое число определяет квантование энергии электрона в атоме.

2. l= 0,1,…,(n-1) – орбитальное (азимутальное) квантовое число определяет квантование орбитального момента импульса электрона в атоме.

3. m=-l,…0,…l – магнитное квантовое число определяет проекцию орбитального магнитного момента (орбитального момента импульса) электрона в атоме на физически заданное направление (например на заданное направление магнитного поля).

4. s=±1/2 - спиновое квантовое число определяет ориентацию спина и собственного магнитного момента электрона в атоме.

Каждая комбинация 4-х квантовых чисел (4-х физических величин) определяет разрешенное квантовое состояние электрона в атоме и соответствует определенному распределение вероятности |Ψ|² обнаружения электрона в различных точках пространства («электронное облако»).

Состояния, в которых орбитальное квантовое число l = 0, описываются сферически симметричными распределениями вероятности. Они называются s-состояниями (1s, 2s,..., ns,...). При значениях l > 0 сферическая симметрия электронного облака нарушается. Состояния с l = 1 называются p-состояниями, с l = 2 – D-состояниями и т. д.