Проверку ДУЧП (как и проверку нулевых граничных условий) можно проводить функцией U (x, t) с неподставленными коэффициентами Cn.
Запишем функцию U (x, t) с подставленными коэффициентами Cn (по формуле (16)):
Теперь запишем функцию U (x, t) с неподставленными коэффициентами Cn:
1) Подставим функцию (17) в исходное дифференциальное уравнение
Следовательно, ДУЧП удовлетворяется.
2) Граничные условия:
3) Начальные условия:
.
Проверяем функцию U (x, t) с подставленными коэффициентами Cn, записанную формулой (16):
- это равенство нужно подтвердить построением графика правой части и графика частичных сумм ряда Фурье, стоящего слева; порядок частичной суммы Sk нужно подобрать так, чтобы было видно визуальное совпадение этих графиков.
При этом управляемые параметры, входящие в левую и правую части можно зафиксировать произвольными численными значениями.
Пусть l=4, A=5, тогда получим следующие графики:
Наблюдается визуальное совпадение графиков на промежутке 
, значит, условие выполняется.
Таким образом, показано, что найденная функция U (x, t) удовлетворяет всем условиям краевой задачи. Следовательно, достоверность решения этой задачи доказана.
Численная реализация решения
1. Управляемые параметры:
A – некоторая постоянная;
l – длина стержня;
a2 – постоянная, зависящая от теплофизических характеристик материала.
Для проведения вычислений необходимо эти параметры зафиксировать произвольными численными значениями: A=5 и l=4, a=2.
2. Подбор количества членов ряда.
Техническая общепринятая точность приближенных вычислений задается как E = 10-5.
Чтобы достичь такой точности при табулировании значений функции U (x, t) во внутренних точках D, достаточно обеспечить такую точность при удовлетворении условий на границе области D, так как, опыт показывает, что функциональные ряды хуже всего сходятся именно в граничных точках их области сходимости.
В данной задаче два граничных условия для функции U (x, t) удовлетворились точно и только одно приближенно, а именно, 
Для удовлетворения этому условию и нужно подобрать необходимое количество членов ряда k. Вычисление k проводится из условия 
Для рассматриваемого случая составим таблицу - результат подбора числа k:
| 
| 
| k | |
| x0=0 | 0,00000 | 0,00000 | < E | |
| x1=0,4 | 2,28000 | 2,28000 | < E | |
| x2=0,8 | 3,84000 | 3,84000 | < E | |
| x3=1,2 | 4,76000 | 4,76000 | < E | |
| x4=1,6 | 5,12000 | 5,12000 | < E | |
| x5=2 | 5,00000 | 5,00000 | < E | |
| x6=2,4 | 4,48000 | 4,48000 | < E | |
| x7=2,8 | 3,64000 | 3,64000 | < E | |
| x8=3,2 | 2,56000 | 2,56000 | < E | |
| x9=3,6 | 1,32000 | 1,32000 | < E | |
| x10=4 | 0,00000 | 0,00000 | < E |
Максимальное значение k=142.
3. Табулирование значений функции U (x, t)
Область D ( 
, 
) покроем равномерной сеткой размером 10х10 с шагами: ∆x = 0.1 (м), ∆t = 1 (c), и вычислим значения функции U (x, t) по формуле (16) в точках 
, которые являются узлами этой сетки.
При всех этих заданных параметрах получаем следующий график функции U (x, t):
страница в документе «таблица_КР_Пархимович.doc»
Исследование решения
Для исследования задачи потребуется задать управляемые параметры: некоторую постоянную А, длину стержня l и постоянную, зависящую от теплофизических характеристик материала а2.
Пусть 
и l=1м, материал стержня – дерево. Требуется выявить зону краевого эффекта от x=l и t=0.
Вычислим коэффициент а2:
a2 = k / (С∙ ρ ), где k – коэффициент теплопроводности материала, С – коэффициент теплоемкости материала, ρ – объемная плотность материала, их которого изготовлено физическое тело.
В исследовании используем в качестве физического тела – деревянный материал. Для данного материала коэффициенты будут следующие [2]:
k = 0,2 Вт/(м∙К)
C = 2,4 кДж/(кг∙ ̊С)
ρ = 700 кг/м3
Переведем коэффициент теплопроводности k в Вт/(м∙ ̊С). Значение k останется прежним, так как величины Цельсия и Кельвина пропорциональны друг другу, но при этом сдвинуты на 273,15 единиц.[3]
Следовательно, k = 0,2 Вт/(м∙ ̊С).
Подставим коэффициенты A, l, а2 в функцию (16) и получим:
Так как изменились некоторые параметры, то для построения графика функции U (x, t) необходимо еще раз подобрать количество членов ряда в этой функции, чтобы достичь технической общепринятой точности вычислений приближенных значений (E = 10 -5).
В результате подбора, нужное количество членов ряда будет – k=143.
Далее, варьируя диапазон значений параметра t (t > 0), получаем различные графики функций U (x, t):
1. При 
:
2. При 
:
В данном диапазоне значений параметра t (при 
) лучше всего просматривается исследуемые краевой эффект.
На выбранном диапазоне значений x и t при заданных параметрах A, l, a составим таблицу значений функции U (x, t) в узлах сетки размером 10х10, равномерно покрывающей область D ( , 
, где l=1) с шагами: ∆x = 0.1 (м), ∆t = 70 000 (c).
страница в документе «таблица_КР_Пархимович.doc»
Заключение по работе
В процессе решения задачи на исследование распределения температуры вдоль стержня в любой момент времени 
, то естьнахождения функции состояния U (x, t) (значения которой равны значениям температуры в каждой точке стержня)на полубесконечной прямоугольной области D был применен модифицированный метод Фурье.
Данным методом было найдено точное решение – функция U (x, t) в виде функционального ряда. Также была показана достоверность этого решения и выполнен подбор количества членов ряда для табулирования значений функции U (x, t) с наперед заданной точностью.
В работе приведен вывод уравнения состояния, описывающего распределение тепла в неравномерно нагретом твердом теле, а также выполнено задание на исследование, в котором необходимо было выявить зону краевого эффекта при заданных управляемых параметрах для стержня, сделанного из дерева.
Список использованной литературы и прикладных пакетов программ (ППП):
1. Конспект лекций ведущего преподавателя (Кацуба В.С.), 2014.
2. Программный продукт Wolfram Matematica 9.0 © Copyright 1988-2013, Wolfram Research Inc.
3. Энциклопедия - Портал знаний - Теплопроводность материалов и потеря тепла через стену [Электронный ресурс] - https://infobos.ru
4. Информационный сайт. Табличные данные, константы, характеристики веществ [Электронный ресурс] - https://helpw.ru
[1] Конспект лекций ведущего преподавателя (Кацуба В.С.), 2014.
[2] Информационный сайт. Табличные данные, константы, характеристики веществ [Электронный ресурс] - https://helpw.ru
[3] Энциклопедия - Портал знаний - Теплопроводность материалов и потеря тепла через стену [Электронный ресурс] - https://infobos.ru