По специальности (код специальности)
ФИО)
2. Условие задачи записывается полностью.
3. Решения задачи должны сопровождаться краткими, но достаточными объяснениями. Для решения выбирать оптимальный вариант.
4. Проверенные работы сохраняются и предоставляются на зачете.
5. Студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя и дать объяснения по всем замечаниям.
6. Если работа не зачтена, то ее необходимо переделать и сдать на повторную рецензию.
7. Основной материал изучается по учебникам.
Методические приложения к контрольной работе.
Тема: Иррациональные уравнения
Иррациональным уравнение называют уравнение, где в формуле присутствует переменная под знаком корня или возведенная в дробную степень. Чтобы решить подобное уравнение, нужно его упростить.
Простейший пример: √2 x +1=3;
Избавляемся от квадратных корней, просто возведя обе части в квадрат:
2x+1=9
2x=8
x=4
Запомните, после решения обязательно проводят проверку корней, подставляя их в исходное уравнение. Если результат совпал, то решение верное!
Решим уравнение: .
Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат: получим , откуда следует, что или .
Проверка. : . Это неверное числовое равенство, следовательно, число не является корнем данного уравнения.
: . Это верное числовое равенство, следовательно,, число является корнем данного уравнения.
Ответ. .
Пример. Решим уравнение: .
Решение. После возведения в квадрат получаем уравнение: , откуда следует, что или .
Проверка. : . Это верное числовое равенство, следовательно,, число является корнем данного уравнения.
: . Это неверное числовое равенство, следовательно,, число не является корнем данного уравнения.
Ответ. .
Тема: «Степень с рациональным показателем и действительным показателем»
Опр.
Если п – натуральное число, т – целое число и частное является целым числом, то при а > 0 справедливо равенство
Пример
Опр.
Для любых действительных чисел p и q и а >0 и b >0 верны равенства. На степени с действительными показателями переносятся все свойства степеней с рациональными показателями.
1.
2.
3.
4.
5.
6. Если а ≠ 0,то а 0 = 1
Пример
Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств»
Опр.
Показательными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
1) Простейшие уравнения, т.е. такие, левую и правую части которых можно привести к одному основанию решаются так:
Пример
2) Уравнения вида решаются вынесением за скобки степени с наименьшим показателем.
3) Уравнения, вида решаются с помощью подстановки ах = у, сводится к квадратному.
Пример
Решить уравнение: 52 x + 1 – 26 • 5 x + 5 = 0
Решение:
5 x = y,
5 y 2 – 26 y + 5 = 0,
D = 169 – 25 = 144,
y 1 = 5 y 2 = 1/5
5 x = 5
x – 1,
5 x = 1/5
x = – 1
Ответ: x = 1 и x = –1
4) При решения уравнения вида обе части уравнения необходимо разделить на , т.к. ≠ 0
.
Решение показательных неравенств сводится к решению простейших неравенств вида b
или
Если а > 1 и b, то х >b
Если 0 < a < 1 и b, то x<b
Пример Решить неравенство:
Решение:
5(4– x)/2 > 5–3, а = 5, сравним показатели (4 – х)/2 > –3, 4 – х > –6, – х > –10, х < 10
Ответ:х < 10
Тема: «Правила действий с логарифмами»
Опр.
Логарифмом числа b по основанию а, где а > 0, а ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.
Примеры
1.
2.
Определение логарифма можно записать так . Его называют основным логарифмическим тождеством.
При преобразовании и вычислении значений логарифмических выражений применяют свойства логарифмов.
Свойства
1.
2.
3.
4.
Формула перехода к другому основанию:
Опр.
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lgb вместо log10 b
log10b= lgb
Опр.
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию е, где е - иррациональное число, приближённо равное 2,7. При этом пишут lnb вместо logeb, т.е. logeb = lnb
Действие нахождения логарифма числа называется логарифмированием.
Действие, обратное логарифмированию называется потенцированием.
Примеры
Тема: «Логарифмические уравнения и неравенства»
Определение:№1
Уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма, называются логарифмическими.
Определение: №2 Логарифмическим уравнением называется уравнение вида где и уравнения сводящиеся к этому виду.
Теорема№1
Если то , равносильно уравнения вида (потенцирование)
Пример №1 Решить уравнение
Решение
Проверка
- левая часть
3=3 х = 1 – корень уравнения
- левая часть не имеет смысла
х = -5 не является корнем
Ответ: х = 1