Описывается S-образной кривой. В реальных условиях численность популяции после начального периода экспоненциального роста выходит на плато - стационарный режим.
В основе логистической модели лежит простое допущение, что мгновенная удельная скорость роста r = 
линейно снижается по мере увеличения численности N.
Для описания S-образной кривой предложено достаточно большое количество уравнений. Но наибольшую известность в экологии приобрело логистическое уравнение.
Его предложил Ферхюльст в 1838 г. Для описания динамики народонаселения.
А в 1920 уравнение переоткрыли независимо друг от друга Пирл и Рид. В итоге уравнение Ферлюхста, Пирла - Рида.
В основе логистической модели лежит простое предположение, что мгновенная удельная скорость роста [r (а) = 
] линейно снижается по мере увеличения численности N.
То есть r(a) ≠ const, как в экспоненциальной модели! То есть, если численность реальной популяции ограничивается величиной К (тем-ра, пища, свет и т.д.), то r = 0 в том случае, когда численность достигла уровня Nk [N=Nk]. То есть численность достигла своего максимального размера при данном ограничивающем факторе.
Nk еще называют биологической емкостью среды – это степень способности природного или природно-антропогенного окружения обеспечивать нормальную жизнедеятельность определенному числу организмов и их сообществ без заметного нарушения самого окружения.
АВ – линейный отрезок, описываемый уравнением типа y=b-ax
y – изменение мгновенной удельной скорости
b – r в точке А
ах - r· 
→ так как если N достигнет Nk, то = 1
r-1 ·r = 0 = точка В.
Таким образом составные части уравнения работают
Записываем уравнение полностью
V роста = 
· 
=r – r 
= r (1 - - 
):
= rmax N (
) – уравнение Ферхюльста -Пирли -Рида.
Nt = 
rmax = rэксп
Несмотря на то, что r принимает разные значения (constanta или не constanta), r сохраняет свой смысл r = b- d.
Если r изменится с изменением численности, то и b и d (смертность и рождаемость) также изменятся с изменением численности.
N0 – рождаемость > смертности (начальная численность популяции)
N растет и помним, что r падает. Тогда по логике рождаемость снижается, а смертность увеличивается.
Z – точка, где b = d – стационарный уровень соответствует максимальной численности популяции Nk.
Если наложить на график экспоненциального роста логистическую кривую, то получится пространство между J-образной кривой (рост в отсутствии лимитирующих факторов) и S-образной кривой (рост в условиях ограничений). Это пространство называют сопротивлением среды. Чем меньше сопротивление среды, тем ближе S-образная кривая к J-образной кривой.
Логистическая модель, имея в основе линейное снижение удельной скорости роста по мере возрастания численности (плотности) популяции, однако же не основана и не вытекает из особенностей самих организмов. Хотя мы можем представить черты популяции, изменение численности которой описывается S-образной кривой.
1. Все особи одинаковые → потребность одинаковая, количество ресурса, они должны быть в одинаковых условиях относительно смертности и рождаемости.
2. Реакция на увеличение численности популяции (увеличение плотности) со стороны особей должна быть мгновенной и провялятся в снижении рождаемости и увеличении смертности.
На самом деле мы наблюдаем запаздывание – лаг-эффект, что можно учесть (пример)
= rmax Nt (
)
Nt -τ – численность наблюдавшаяся за время τ до момента t
Теоретическое исследование логистической модели с запаздыванием показало, что ей свойственен колебательный режим, причем при увеличении времени запаздывания и величины rmax возрастает амплитуда и частота таких колебаний.
Логистический рост
Задача
= r N (1 - 
)
N(t) = 
Емкость среды 5000 клеток. Начальная численность – 10 клеток, через 20 минут 40 клеток. Постройте график логистического роста.
В начальный период действие лимитирующих факторов сведено к min → рост можно приравнять к росту в идеальных условиях
Nt = N0 ert
Найдем из этого уравнения r- специфическую скорость роста
40 = 10 ·e20·r
4 = e20r
ln 4 = 20 r
r = 
= 0,07 (самоае главное набирайте правильно на калькуляторе Ln4 будет равно 1,386)
Будем следить за изменением численности популяции через равные промежутки времени - 20 минут, при этом N0 – предыдущая численность популяции будет иметь всегда свои значения.
N40 = 
= 158
N60 = 
= 584
N80 = 
= 1745
N100 = 
= 3424
N120 = 
= 4490
N140 = 
= 4864
N160 = 
= 4966
Соберем результаты в таблицу
| t | |||||||||
| N |
Построим по точкам графиr (Nt)