Спонтанная магнитострикция и ее вклад в магнитную анизотропию

Лабораторная работа № 4

 

 

Измерение магнитострикции ферромагнетика

С помощью тензодатчика

 

 

 

 

Г. Ижевск

Бреган Андрейгр.18-31 1998 год.

Цель работы: определение продольной магнитострикции никеля в зависимости от амплитуды напряженности магнитного поля.

 

Теория.

Введение

Данная работа посвящена изучению поведедения ферромагнетиков в магнитном поле.

Хотя магнитное взаимодействие является малой поправкой к электрическим обменным силам, обусловливающим самопроизвольную намагниченность, тем не менее, они играют решающую роль во всем сложном комплексе явлений технического намагничивания. Поэтому выяснение физической природы магнитного взаимодействия в ферромагнетиках имеет не только теоретическое значение, но необходимо и для ясного понимания механизма тех физических процессов, которые обусловливают всю практическую ценность явления ферромагнетизма.

Напомним, что ферромагнетиками называются вещества, в которых магнитные моменты ориентированы вдоль выделенного направления.

Монокристаллы ферромагнетиков анизотропны в магнитном отношении. В качестве примера магнитокристаллической анизотропии на рис.1 приведены кривые намагничивания I (Н) монокристалла кобальта, снятые вдоль гексагональной оси (ось с) и перпендикулярно к ней (ось а). Как видно из рисунка, если магнитное поле H || c, то достаточно приложить поле в несколько сот эрстед для того, чтобы намагнитить кристалл до насыщения. При Н ^ с насыщение достигается только при Н » 10⁴ Э.

Наиболее резко магнитная анизотропия, проявляется в кристаллах гексагональной симметрии (Со, Tb, Dy). Из анализа кривых I(Н), снятых по различным кристаллографическим направлениям, следует, что в ферромагнитных монокристаллах существуют направления, называемые “осями легкого намагничивания” (ОЛН), и направления, называемые “осями трудного намагничивания” (ОТН).

Известно, что минимум свободной энергии магнитокристаллической анизотропии достигается, когда намагниченность ориентирована вдоль ОЛН. Для поворота I _s из этих направлений требуется затрата определенной работы, которая приводит к росту энергии магнитной или магнитокристаллической анизотропии. Энергией магнитокристаллической анизотропии называют ту часть энергии кристалла, которая зависит от ориентации вектора намагниченности относительно кристаллографических осей.

Рис.1. Кривые намагничивания I (Н) монокристалла кобальта, снятые

вдоль гексагональной оси (ось с) и перпендикулярно к ней (ось а).

 

В случае кобальта эта энергия минимальна, если намагниченность направлена вдоль оси с (при комнатной температуре). При вращении намагниченности I _s от оси с энергия анизотропии увеличивается с увеличением угла J между осью c и направлением I _s, достигает максимума при J=90°, т. е. при I _s ^ с, и затем уменьшается до первоначального значения при J =180°.

Спонтанная магнитострикция и ее вклад в магнитную анизотропию

 

При возможных изменениях ориентации самопроизвольной намагниченности в кристалле изменяются равновесные расстояния между узлами
решетки. Поэтому возникают самопроизвольные магнитострикционные
деформации. т.е.

Опр. При перемагничивании ферромагнетика имеет место магнитное взаимодействие элекектронов, которое влияет на межатомное расстояние, вызывая деформацию кристаллической решетки, что сопровождается изменением линейных размеров тела и появлением соответствующей магнитоупругой энергии. Это явление называется магнитострикцией.

В частном случае кубического кристалла в отсутствие внешних напряжений свободная энергия магнитного и упругого взаимодействия (с точностью до шестых степеней в направляющих косинусах вектора Is и вторых степеней тензора магнитострикционных напряжений), равна сумме энергии магнитокристаллической анизотропии f _a, упругой энергии f_упр и магнитоупругой энергии f _му:

 

f _a(a_i ,e_{i j})= f _a(a_i ,e_{i j})+ f _упр.(a_i ,e_{i j})+ f _му. (a_i ,e_{i j}) (1)

 

1) Можно феноменологическим путем получить выражение плотности f _a энергии магнитной анизотропии, раскладывая эту энергию в ряд по степеням направляющих косинусов вектора намагниченности a _i относительно осей симметрии кристалла. Сначала найдем выражение f _a для кобальта, имеющего гексагональную решетку с ОЛН - с, для которого a _i = a = cos (I _s ,с) = cos J. Для гексагональной решетки, обладающей центром симметрии, операция замены a на - a должна оставлять энергию инвариантной относительно такого преобразования симметрии. Следовательно, в разложении останутся только члены с четными степенями а, т. е.

 

f_a=K₁^¢_a2 + K₂^¢_a4 +...... (2)

 

где K₁^¢_a2 и K₂^¢_a4 и т. д. - параметры магнитной анизотропии; f_a чаще записывают в следующем виде:

 

f_a = K₁ sin²J+ K₂ sin⁴J+..., (3)

 

где K₁ и K₂ называют 1-й и 2-й константами магнитной анизотропии. Энергия анизотропии кристаллов гексагональной системы в общем случае должна зависеть от азимута j. Но эта зависимость является очень слабой, и ею обычно пренебрегают. Для кубических кристаллов, таких как Fe, Ni, энергия анизотропии выражается в функции направляющих косинусов (a₁, a₂, a₃) намагниченности I _s относительно трех ребер куба:

 

(a₁=cos(I_s, [100]); a₂=cos(I_s, [010]); a₃=соs(I_s, [001]). (4)

 

Энергия анизотропии должна быть такой функцией a₁ , a₂ , a₃, которая оставалась бы инвариантной при преобразованиях симметрии кубического кристалла.

В кубическом кристалле плоскости типа [100] являются плоскостями симметрии. Зеркальное отражение вектора I_s в такой плоскости должно оставлять функцию f _a (a₁, a₂, a₃) инвариантной. Отражение, например, в плоскости (100) заменяет a₁ на - a₁,оставляя a₂ и a₃ неизменными. Аналогично зеркальное отражение в плоскостях (010) и (001) изменяет знаки соответственно у a₂ и a₃. Следовательно, функция f _a( a₁, a₂,a₃) должна быть инвариантной относительно преобразований

 

a _i ® - a _i (i = 1,2,3) (5)

 

Кубический кристалл имеет также плоскости симметрии типа {110}. Отражение в этих плоскостях соответствует преобразованиям

 

a _i ® - a _j (i¹ j = 1,2,3) (6)

 

Первым членом разложения энергии анизотропии кубического кристалла по степеням a ₁ , a ₂ , a ₃, удовлетворяющим требованиям симметрии (5,6), является a² ₁ + a² ₂ + a² ₃ , но этот член разложения всегда равен единице и, следовательно, не описывает эффекта анизотропии.
Следующий член (четвертого порядка относительно a _i), a⁴ ₁ + a⁴ ₂ + a⁴ ₃ может быть приведен к виду

 

a⁴ ₁ + a⁴ ₂ + a⁴ ₃ = 1- 2(a² ₁ a² ₂+ a² ₂ a² ₃+ a² ₁ a² ₃) (7)

 

так как (a² ₁ + a² ₂ + a² ₃)² = 1. Далее, член шестого порядка приводится к виду

 

a⁶ ₁ + a⁶ ₂ + a⁶ ₃ = 1- 3(a² ₁ a² ₂+ a² ₂ a² ₃+ a² ₁ a² ₃)+3a² ₁ a² ₂ a² ₃ (8)

 

так как (a² ₁ + a² ₂ + a² ₃)³ = 1.

 

Энергия анизотропии на единицу объема кубического кристалла с точностью до членов шестого порядка относительно a _i представляется в виде линейной комбинации

 

f _a=K₁ (a² ₁ a² ₂+ a² ₂ a² ₃+ a² ₁ a² ₃)+ K₂ a² ₁ a² ₂ a² ₃ (9)

 

Часто членом K₂ a² ₁ a² ₂ a² ₃, который обычно меньше первого члена в (9), пренебрегают. Тогда:

 

f _a=K₁ (a² ₁ a² ₂+ a² ₂ a² ₃+ a² ₁ a² ₃) (10)

 

Знаки констант анизотропии K₁ и K₂ и их относительная величина определяют то кристаллографическое направление, которое в данном кристалле будет “легким”.

Если К₁>0, то первый член в (9) минимален при направлении намагниченности вдоль осей [100], [010], [001], которые в этом
случае являются осями легкого намагничивания.
Если К₁ <0, то осями легкого намагничивания являются оси[111], [I11], [1I1], [11I], так как первый член в энергии анизотропии (9) минимален, когда намагниченность расположена вдоль этих осей.

Если учитывать и второй член в (9), то направление диагональной оси [100] в тех случаях, когда К₁ отрицательна и меньше по абсолютной величине, чем К₂, также может быть направлением легкого намагничивания.

В заключение отметим, что в ряде случаев удобнее f _a раскладывать в ряд по сферическим функциям Y^m _l ( J, j ) где J - полярный угол, j - азимут вектора намагниченности по отношению к выбранной оси симметрии. Тогда

 

f _a=SSc^m_lU^m_l(J,j), (11)

 

где c^m_l - параметры, аналогичные константам анизотропии. Разложение (11) справедливо для кристаллов любой симметрии (тип симметрии определяют величины c^m_l, т. е. какие из этих коэффициентов обращаются в нуль).

 

2) f _упр.(e_{i j} ) = ½ [ C₁₁(e²_xx+ e²_yy+ e²_zz) ] +½ [ C₄₄(e²_xy+ e²_yz+ e²_xz) ] +

+ C₁₂(e_xxe_yy+ e_yye_zz+ e_xxe_zz ) (12)

 

3) f _му.(a_i ,e_{i j}) = B₁ [ (a²₁ – 1/3)e_xx+(a²₂ – 1/3)e_yy+(a²₃ – 1/3)e_zz ] +

B₂ [ a₁a₂e_xy+a₂a₃ e_yz+a₁a₃e_xz ], (13)

 

где, a_i – направляющие косинусы вектора спонтанной намагниченности, e_{i j}- компоненты тензора деформации кристалла, В₁ , В₂ – константы магнитоупругой энергии, С₁₁ , С₄₄ , С₁₄ – модули упругости.

Устойчивому равновесному состоянию деформированного кристалла с определенным направлением намагниченности (a _i = const) соответствует минимум свободной энергии. Чтобы определить компоненты тензора деформации при отсутствии внешних напряжений, характеризующие спонтанную магнитострикционную деформацию или спонтанную магнитострикцию, следует найти компоненты e⁽⁰⁾_{i j} , соответствующие минимуму f.

Минимизируя выражения для плотности энергии f относительно e _{i j}, получим

∂ f /∂e_xx= B₁(a²₁ – 1/3)+C₁₁e⁽⁰⁾_xx + C₁₂(e⁽⁰⁾_yy+e⁽⁰⁾_zz)=0,

∂ f /∂e_yy= B₁(a²₂ – 1/3)+C₁₁e⁽⁰⁾_yy + C₁₂(e⁽⁰⁾_zz+e⁽⁰⁾_xx)=0, (14)

∂ f /∂e_zz= B₁(a²₃ – 1/3)+C₁₁e⁽⁰⁾_zz+ C₁₂(e⁽⁰⁾_xx+e⁽⁰⁾_yy)=0,

∂ f /∂e_zy= B₂a₁a₂+ C₄₄e⁽⁰⁾_xy=0,

∂ f /∂e_yz= B₂a₂a₃+ C₄₄e⁽⁰⁾_yz=0, (15)

∂ f /∂e_xz= B₂ a ₁ a ₃+ C₄₄e⁽⁰⁾_xz=0,

Складывая три уравнения (14), найдем: (∆V/V)₀= e⁽⁰⁾_xx+ e⁽⁰⁾_yy+ e⁽⁰⁾_zz,

т.е. в этом приближении изменение объема кристалла (∆V/V)₀ при спонтанной магнитострикционной деформации равно нулю. Из (14) и (15) получим компоненты тензора этой деформации

 

e⁽⁰⁾_{i i} = - [ B₁/(C₁₁-C₁₂) ] [a ²_i – 1/3 ], e⁽⁰⁾_{i j} = -(B₂/C₄₄)a_ia_j ; i, j = x, y, z.

(16)

 

Зная e⁽⁰⁾_{i j} легко найти удлинение кристалла δ l/l при спонтанной магнитострикционной деформации в любом направлении, определяемом направляющими косинусами β ₁, β ₂, β ₃:

 

( δ l/l)₀ = e⁽⁰⁾_xx β² ₁ + e⁽⁰⁾_yy β² ₂ + e⁽⁰⁾_zz β² ₃ + e⁽⁰⁾_xy β ₁ β ₂ + e⁽⁰⁾_yz β ₂ β ₃ + e⁽⁰⁾_zx β ₃ β ₁ =

= - [ B₁/(C₁₁-C₁₂) ] [a ²₁ β² ₁ +a ²₂ β² ₂ +a ²₃ β² ₃ - 1/3] –

 

– (B₂/C₄₄)( a ₁ a ₂ β ₁ β ₂+ a ₂ a ₃ β ₂ β ₃+ a ₃ a ₁ β ₃ β ₁) (17)

 

Найдем δ l/l для кристаллографических направлений [100] и [III]. Если кристалл намагничен вдоль направления [100], то, полагая в (17)

a ₁ = β ₁ = 1, a ₂ = a ₃ = β ₂ = β ₃ = 0, получим

 

( δ l/l)_[100] = λ ₁₀₀ = - 2/ 3 [ B₁/(C₁₁-C₁₂) ]. (18)

 

Аналогично для направления [111] будем иметь

 

( δ l/l)_[111] = λ ₁₁₁ = - 1/ 3 (B₂/C₄₄), (19)

 

где λ ₁₀₀ и λ ₁₁₁ носят название констант магнитострикции. Подставляя
в (18,19),Выражения для констант магнитоупругой энергии:

 

B₁=N(∂g₁/∂r)r₀, B₂= 2Ng₁, (20)

где - N число атомов в единице объема. Можно выразить магнитострикционные
константы λ ₁₀₀ и λ ₁₁₁ для различных типов кубических решеток через коэффициенты g₁ в выражении для энергии пары атомов:

1- простая кубическая:

 

λ ₁₀₀ = -2/3 [ N/(C₁₁ – C₁₂) ][ ∂g₁/∂r ] r₀;

λ ₁₁₁ = - 4/3(N/C₄₄)g₁

 

2- объемно- центрированная:

 

λ ₁₀₀ = -16/9 [ N/(C₁₁ – C₁₂) ] g₁; (21)

λ ₁₁₁ = - 16/27 [ g₁+(∂g₁/∂r)r₀ ]

 

3 – гранецентрированная:

 

λ ₁₀₀ = -1/3 [ N/(C₁₁ – C₁₂) ][6g ₁ – (∂g₁/∂r)r₀ ];

λ ₁₁₁ = - 2/3 [ N/C₄₄ ] [2 g₁+(∂g₁/∂r) r₀ ]

Принимая во внимание (16), магнитоупругую (13) и упругую (12) энергии при спонтанной деформации можно записать в виде:

 

f⁽⁰⁾_му.= [B²₁/(C₁₁ – C₁₂)] ∑ ( a² _i-1/3)² - B²₂/C₄₄ ∑ a² _i a² _j , (i, j=1,2,3)

f⁽⁰⁾_упр.= ½ C₁₁ [B²₁/(C₁₁ – C₁₂)²] ∑ ( a² _i-1/3)² + ½ C₄₄ B²₂∑ a² _i a² _j+

+C₁₂[B²₁/(C₁₁ – C₁₂)²] ∑ ( a² _i-1/3)( a² _j-1/3), (i, j=1,2,3)

или, учитывая соотношения

 

1) ∑a² _i =1 (i =1,2,3);

 

2) ∑a⁴ _i =1 –2 ∑a² _i a² _j (i, j=1,2,3);

3) ∑ ( a² _i-1/3)²= 2/3 – 2 ∑ a² _i a² _j (i, j=1,2,3, i>j);

 

4) ∑ ( a² _i-1/3)( a² _j-1/3) = ∑ a² _i a² _j – 1/3 (i, j=1,2,3, i>j);

 

f⁽⁰⁾_му.= – [B²₁/(C₁₁ – C₁₂)][ 2/3 – 2 ∑ a² _i a² _j] - B²₂/C₄₄ ∑ a² _i a² _j ,

(i, j=1,2,3, i>j) (22)

f⁽⁰⁾_упр.= ½ C₁₁ [B²₁/(C₁₁ – C₁₂)²] [ 2/3 – 2 ∑ a² _i a² _j] + ½ C₄₄ B²₂∑ a² _i a² _j+

+C₁₂[B²₁/(C₁₁ – C₁₂)²] ∑ a² _i a² _j – 1/3,

(i, j=1,2,3,i>j) (23)

 

Подставляя (21) и (23) в (1) и учитывая (10), (18) и (19), получим следующее выражение для плотности анизотропной части магнитной энергии кристалла при отсутствии упругих внешних напряжений:

 

f =(K₁ +∆ K₁)∑ a² _i a² _j (i, j=1,2,3, i>j) (24)

 

где добавка ∆ K₁ к первой константе анизотропии, обусловленная спонтанной магнитострикционной деформацией равна

 

∆ K₁= [2B²₁/(C₁₁ – C₁₂)] + [B²₂/C₄₄] – [C₁₁{B²₁/(C₁₁ – C₁₂)²}]+

+ [½ C₄₄ (B²₂/C²₄₄)]+[ C₁₂ {B²₁/(C₁₁ – C₁₂)²] =

= [B²₁/(C₁₁ – C₁₂)] – ½[B²₂/C₄₄]=9/4 l²₁₀₀(C₁₁-C₁₂) – 9/2l²₁₁₁C₄₄

(25)

 

Как видно из (24), вид зависимости плотности энергии от направляющих косинусов не изменился, но константа анизотропии благодаря спонтанной деформации решетки увеличилась.