Общие методические указания.

ЗАДАНИЕ №1. Линейная алгебра.

Решить заданную систему: а) пользуясь формулами Крамера;

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

 

Решение типового примера.

Пусть требуется решить систему уравнений:

Решение:

а) Метод Крамера. Подсчитаем главный определитель системы, для этого воспользуемся разложением определителя системы по элементам первой строки по формуле:

= -- +

Вычислим главный определитель системы

=1 +2 +1 =10

Так как =10, не равен нулю, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители:

= =1 3 2 + +1 8 - 3 1 -8 2 - 1 =

6-2-8+3+32-1=30.

Аналогично находим

= =0 = =-20

Согласно формулам Крамера имеем:

X= = =3; y= =0; z= =-2.

Для проверки правильности решения подставим его в каждое уравнение системы

Ответ: .

ЗАДАНИЕ №2. Векторная алгебра.

В задачах 21-40 даны координаты вершин пирамиды АВСД.

Требуется:

1. Записать координаты векторов , и , найти их длины;

2. Найти угол между векторами и ;

3. Составить уравнение ребра АС;

4. Составить уравнение грани АВС.

 

21.А , В , С , Д .

22. А , В , С , Д .

23.А , В , С , Д .

24. А , В , С , Д .

25. А , В , С , Д .

26. А , В , С , Д .

27. А , В , С , Д .

28. А , В , С , Д .

29. А , В , С , Д .

30. А , В , С , Д .

31. А , В , С , Д .

32. А , В , С , Д .

33. А , В , С , Д .

34. А , В , С , Д .

35. А , В , С , Д .

36. А , В , С , Д .

37. А , В , С , Д .

38. А , В , С , Д .

39. , В , С , Д .

40. А , В , С , Д .

Решение типового примера.

Пусть А(0;0;1), В(2;3;5), С(6;2;3), D(3;7;2).

1. Известно, что произвольный вектор , заданный координатами точек ( и имеет координаты, которые определяются по формуле .

Следовательно

,

,

, .

Если , то длина вектора определяется формулой

= . Тогда

= = ;

= = =2 ;

= = .

2. Известна формула = где числитель – скалярное произведение векторов = . Тогда

= = 0,7279.

По тригонометрическим таблицам определяем, что 43 .

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x₁;y₁;z₁) и М_{2 ,} имеет вид:

= = ,

Тогда уравнение ребра АС имеет вид

= = или = или АС: .

4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (x₁;y₁;z₁),

М_{2 ,} имеет вид

=0

Подставим координаты точек А,В,С в заданную формулу и получим

=0;

Вычислим определитель третьего порядка

=0

6x+24y+4 -18 -4y-8x=0;

-2x+20y-14 =0;

-2x+20y-14z+14=0;

x-10y+7z-7=0.

ЗАДАНИЕ №3. Интегральное исчисление.

В задачах 61-80 вычислить площадь, ограниченную параболами.

61. а) y= x²-x+1, y= x²+3x+6. б) y=2x², y=-2x+4.

62. а) y= x²+x+6, y=- x²-5x+7. б) y=x², y=-x+2.

63. а) y= x²-3x+2, y=- x²-2x+4. б) y=3x², y=-x+4.

64. а) y=2x²+6x-3, y=-x²+x+5. б) y= x², y=-x+3.

65. а) y=3x²-5x-1, y=-x²+2x+1 б) y= x², y=-3x+12.

66. а) y=x²-3x-1, y=-x²-2x+5. б) y= x², y=-3x+12.

67. а) y=2x²-6x+1, y=-x²+x-1, б) y=4x², y=-2x+2.

68. а) y= x²-2x+4, y=- x²-x+2, б) y= x², y=- x+2.

69. а) y=x²-5x-3, y=-3x²+2x-1, б) y=4x², y=-2x+6.

70. а) y=x²-2x-5, y=-x²-x+1, б) y=x², y=-x+3.

71. а) y= x²-2x-5, y=- x²-x+1, б) y=2x², y=-3x+14.

72. а) y= x²+3x-2, y=- x²-x+3, б) y= x², y=-x+6.

73. а) y=2x²-6x+3, y=-2x²+x+5, б) y=3x², y=-2x+5.

74. а) y=x²-3x-4, y=-x²-x+8, б)y= x², y=-2x+9.

75. а) y= x²-3x-1, y=- x²-x+2, б) y= x², y=-2x+6.

76. а) y=2x²+4x-7, y=-x²-x+1, б) y=2x², y=-x+10.

77. а) y=2x²+3x+1, y=-x²-2x+9, б) y=3x², y=-3x+6.

78. а) y=2x²-6x-2, y=-x²+x-4, б) y=x², y=-2x+5.

79. а) y=x²-2x-4, y=-x²-x+2, б) y= x², y=-x+3.

80. а) y= x²-3x-2, y=- x²-7x+3, б) y=3x², y=-5x+8.

 

Решение типового примера.

Вычислить площадь, ограниченную параболами

у=2х²-х-2; у=-х²+х-1;

Решение:

В декартовой системе координат построим заданные параболы.

Найдем точки пересечения графика функции у=2х²-х-2 с осью Ох, решив уравнение 2х²-х-2=0, где а=2,в=-1,с=-2. Вычислим дискриминант

D=в²-4ас. D= ² =17

Х= , Х₁= Х₂=

Найдём координаты вершины параболы Х₀= , Х₀= =0.25, У₀=2 ²-0.25-2=-2.4.

Найдем точки пересечения графика функции у=-х²+х-1 с осью Ох, решив уравнение -х²+х-1=0. D=1²-4 =-3 0, следовательно точек пересечения параболы с осью Ох нет. Так как а=-1 0, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы Х₀= =0,5,

У₀=-0,25²+0,5-1=-0,75.

Строим схематически графики заданных функций.

Найдем абсциссы точек пересечения парабол, решив уравнение

2х²-х-2=-х²+х-1

3х²-2х-1=0

D=4, х₁=1, х₂=-- .

При х=1 у=-1; х=- у=-1 .

Вычисление площади осуществляем по формуле

S= , где – кривые, ограничивающие фигуру .

S= = = = .

Ответ: Искомая площадь квадратных единиц.

 

Номер варианта	Задание №1	Задание №2	Задание №3	Задание №4

 

Общие методические указания.

Заочная форма обучения предполагает самостоятельную работу студента над учебным материалом: работа с учебником, разбор и решение типовых задач, выполнение контрольной работы.

Если возникли затруднения при самостоятельном изучении материала, студент может обратиться к преподавателю для получения устной или письменной консультации.

Чтобы получить письменную консультацию, студент должен точно указать характер затруднений, название учебника или задачника, год издания и страницу, где находится вызвавший затруднения вопрос или задача.

Студенты, в соответствии с действующим учебным планом, изучают курс высшей математики в течение одного семестра и выполняют одну контрольную работу.

При выполнении контрольной работы студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1.Работа выполняется в отдельной тетради в клетку, на титульном листе которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, домашний адрес;

2.Задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи надо полностью переписать её условие;

3.Ход решения каждой задачи студент должен оформлять аккуратно, в полном соответствии с порядком решения типовой задачи, приведенной в данных методических указаниях;

4.Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, с указанием осей координат и единиц масштаба. Пояснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведённых на чертежах;

5. На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3-4см для замечаний преподавателя;

6.В случае незачёта по контрольной работе студент обязан в кратчайшие сроки исправить все отмеченные преподавателем ошибки и недочеты и предъявить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу;

7.Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с номером по учебному журналу в соответствии с таблицей