1. Построить алгоритм моделирования шести возможных значений дискретной случайной величины Х, закон распределения которой задан в виде таблицы
| Х | |||
| Р | 0,22 | 0,17 | 0,61 |
Разобьем интервал (0,1) оси Оr точками с координатами 0,22, 0,22 + 0,17 = 0,39 на три частичных интервала: d1 - (0, 0,22), d2 - (0,22, 0.39), d3 - (0, 39,1).
Выпишем из таблицы приложения 5 шесть случайных чисел, например 0,32, 0,17, 0,90, 0,05, 0,97, 0,87.
Случайное число r1 =0,32 принадлежит частичному интервалу d2, поэтому разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение
x2 =10, случайное число r2 =0,17 принадлежит частичному интервалу d1, поэтому разыгрываемая величина приняла возможное значение x1 =2.
Аналогично получаем другие возможные значения.
Итак, разыгранные возможные значения: 10, 2, 18, 2, 18, 18.
2. В одноканальную СМО с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено закону f(x)=0,8exp(-0,8x). Время обслуживания заявок случайное и распределено по закону f1(t)=1,5exp(-1,5t). Найти методом Монте - Карло за время Т=30 мин: а) среднее число обслуженных заявок, б) среднее время обслуживания одной заявки, г) вероятность отказа. Произвести шесть испытаний.
Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону f(x)=0,8exp(-0,8x), поэтому значения xi разыгрываем по формуле
xi = - (1/0,8) ln ri = 1,25(-ln ri).
Случайные числа ri берем из таблицы приложения 5, начиная с первой строки снизу.
Время обслуживания заявок распределено по закону f1(t)=1,5exp(-1,5t), поэтому значения ti разыгрываем по формуле
ti = - (1/1,5) ln Ri = 0,67 (-ln Ri)
случайные числа Ri берем из той же таблицы, начиная с первой строки сверху.
Пусть T1 = 0 - момент поступления первой заявки. По случайному числу R1 = 0,10 разыгрываем длительность времени обслуживания первой заявки (в мин):
t1 = 0,67(- ln 0,10) = 0,67 x 2,30 = 1,54
Момент окончания обслуживания первой заявки Т1 = 1,54 = 0+1,54 = 1,54. В счетчик обслуженных заявок записываем единицу.
По случайному числу r2=0,69 разыгрываем время (мин) между моментами поступления первой и второй заявок:
x2 = 1,25 (-ln 0,69) = 1,25 x 0,37 =0,46
Первая заявка поступила в момент Т1=0. Следовательно, вторая заявка поступит в момент Т2 = Т1 + 0,46 = 0 + 0,46.
В этот момент канал занят обслуживанием первой заявки (0,46 меньше 1,54), поэтому вторая заявка получит отказ. В счетчик отказов записываем единицу.
По очередному случайному числу r3 = 0,07 разыгрываем время между моментами поступления второй и третьей заявок:
x3 =1,25 (-ln 0,07) = 1,25 x 2,66 =3,32
Вторая заявка поступила в момент Т2 = 0,46. Следовательно, третья заявка поступит в момент Т3 =Т2 + 3,32 =0,46 +3,32 = 3,78. В этот момент канал уже свободен (3,78 больше 1,54), поэтому он обслужит третью заявку. В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.
Дальнейший расчет ясен из табл. 1 и 2. Испытание заканчивают, когда момент поступления заявки Тi больше или равно 30. Например, в первом испытании, как видно из табл. 1, 23 - я заявка поступила в момент Т23 = 31,35 больше 30, поэтому эту заявку исключаем (“Стоп”) и первое испытание заканчиваем.
Аналогично производят и остальные испытания.
Табл. 1
| Номер заявки i | Случайное число ri | - ln ri | Время между двумя последовательными заявками xi=1,25(-ln ri) | Момент поступления заявки Ti =Ti-1 +xi |
| 0,69 | 0,37 | 0,46 | 0,46 | |
| 0,07 | 2,66 | 3,32 | 3,78 | |
| 0,49 | 0,71 | 0,89 | 4,67 | |
| 0,41 | 0,89 | 1,11 | 5,78 | |
| 0,38 | 0,97 | 1,21 | 6,99 | |
| 0,87 | 0,14 | 0,18 | 7,17 | |
| 0,63 | 0,46 | 0,58 | 7,75 | |
| 0,79 | 0,24 | 0,30 | 8,05 | |
| 0,19 | 1,66 | 2,08 | 10,13 | |
| 0,76 | 0,27 | 0,34 | 10,47 | |
| 0,35 | 1,05 | 1,31 | 11,78 | |
| 0,58 | 0,54 | 0,68 | 12,46 | |
| 0,40 | 0,92 | 1,15 | 13,61 | |
| 0,44 | 0,82 | 1,02 | 14,63 | |
| 0,01 | 4,60 | 5,75 | 20,38 | |
| 0,10 | 2,30 | 2,88 | 23,26 | |
| 0,51 | 0,67 | 0,84 | 24,10 | |
| 0,82 | 0,20 | 0,25 | 24,35 | |
| 0,15 | 1,83 | 2,29 | 26,64 | |
| 0,16 | 1,90 | 2,38 | 29,02 | |
| 0,48 | 0,73 | 0,91 | 29,93 | |
| 0,32 | 1,14 | 1,42 | 31,35 (Cтоп) |
Табл. 2
| Номер заявки I | Случайное число ri | - ln ri | Длительность обслуживания заявки ti=0,67(-lnRi) | Момент | Счетчик | |||
| поступления заявки | начало обслуживания | окончание обслуживания | обслуженных заявок | отказов | ||||
| 0,10 | 2,30 | 1,54 | 1,54 | |||||
| 0,46 | ||||||||
| 0,09 | 2,41 | 1,61 | 3,78 | 3,78 | 5,39 | |||
| 4,67 | ||||||||
| 0,73 | 0,32 | 0,21 | 5,78 | 5,78 | 5,99 | |||
| 0,25 | 1,39 | 0,93 | 6,99 | 6,99 | 7,92 | |||
| 7,17 | ||||||||
| 7,75 | ||||||||
| 0,33 | 1,11 | 0,74 | 8,05 | 8,05 | 8,79 | |||
| 0,76 | 0,27 | 0,18 | 10,13 | 10,13 | 10,31 | |||
| 0,52 | 0,65 | 0,44 | 10,47 | 10,47 | 10,91 | |||
| 0,01 | 4,60 | 3,08 | 11,78 | 11,78 | 14,86 | |||
| 12,46 | ||||||||
| 13,61 | ||||||||
| 14,63 | ||||||||
| 0,35 | 1,05 | 0,70 | 20,38 | 20,38 | 21,08 | |||
| 0,86 | 0,15 | 0,10 | 23,26 | 23,26 | 23,36 | |||
| 0,34 | 1,08 | 0,72 | 24,10 | 24,10 | 24,82 | |||
| 24,35 | ||||||||
| 0,67 | 0,40 | 0,27 | 26,64 | 26,64 | 26,91 | |||
| 0,35 | 1,05 | 0,70 | 29,02 | 29,02 | 29,72 | |||
| 0,48 | 0,73 | 0,49 | 29,93 | 30,42 | ||||
| Z | 11,71 |
Табл. 3
| Номер испытания I | Поступило заявок Njпост | Обслужено заявок Njобсл | Длительность обслуживан tjобсл | Ср. время обслуживан tjобсл= tjобсл/Njобсл | Вероятность обслуживан Pjобсл= =Njобсл/Njпост | Вероятнос отказа Pjотк= =1-Pjобсл |
| 11,71 | 0,90 | 0,591 | 0,409 | |||
| 8,80 | 0,52 | 0,680 | 0,320 | |||
| 13,46 | 0,84 | 0,667 | 0,333 | |||
| 12,19 | 0,81 | 0,682 | 0,318 | |||
| 11,99 | 0,92 | 0,650 | 0,350 | |||
| 9,57 | 0,50 | 0,704 | 0,296 |
В табл. 3 приведены результаты шести испытаний, включая первое.
Используя табл. 3, найдем искомые величины:
а) среднее число обслуженных за 30 мин заявок Nобсл = 93/6 = 15,5,
б) среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 4.49/6 = 0,748,
в) вероятность обслуживания Робсл. = 3,974/6 = 0,662,
г) вероятность отказа Ротк = 1 - Робсл =1 - 0,662 = 0,338.
Таким образом, примерно 66% заявок будут обслужены, а 34% получат отказ.