Содержание
Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.
Говорят, что A содержится в B, если "x ОE mA(x) <mB(x).
Обозначение: A М B.
Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае если A М B, говорят, что B доминирует A.
Равенство
A и B равны, если "xОE mA(x) = mB (x).
Обозначение: A = B.
Дополнение
Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если
"xОE mA(x) = 1 - m B(x).
Обозначение: B = 
или A = 
Очевидно, что = A. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).
Пересечение
AЗB - наибольшее нечеткое подмножество, которое содержится одновременно в A и B.
mAЗB(x) = min(mA(x), mB(x)).
Объединение
А И В - наименьшее нечеткое подмножество, которое включает как А, так и В, с функцией принадлежности:
mAИ B(x) = max(mA(x), m B(x)).
Разность
А - B = АЗ с функцией принадлежности:
mA-B(x) = mA З (x) = min(mA(x), 1 - m B(x)).
Дизъюнктивная сумма
АЕB = (А - B)И(B - А) = (А З ) И( З B) с функцией принадлежности:
mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }
Примеры
Пусть:
A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;
B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;
C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.
Здесь:
1. AМB, то есть A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, то есть пари {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.
2. A № B №C.
3. = 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;
= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.
4. AЗB = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.
5. АИС = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.
6. А - С = АЗ = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;
В - А = З С = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
7. А Е В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
Наглядное представление операций над нечеткими множествами
Для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.
Пусть A нечеткий интервал между 5 до 8 и B нечеткое число около 4, как показано на рисунке.
Проиллюстрируем нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (синяя линия).
Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем рисунке (снова синяя линия).
Следующий рисунок иллюстрирует операцию отрицания. Синяя линия - это ОТРИЦАНИЕ нечеткого множества A.
На следующем рисунке заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. Остальные рисунки изображают соответственно , AЗ , AИ .
| 
|
| 
|
Свойства операций И і З
Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:
· 
- коммутативность;
· 
- ассоциативность;
· 
- идемпотентность;
· 
- дистрибутивность;
· AИЖ = A, где Ж - пустое множество, то есть mЖ(x) = 0 "xОE;
· AЗЖ = Ж;
· AЗE = A, где E - универсальное множество;
· AИE = E;
· 
- теоремы де Моргана.
В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:
· AЗ № Ж,
· AИ № E.
(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере представления нечетких множеств).
· CON(A) = A2 - операция концентрирования,
· DIL(A) = A0,5 - операция размывания,
которые используются при работе с лингвистическими переменными.
Умножение на число
Если a - положительное число, такое, что a 
m A(x)Ј1, тогда нечеткое множество aA имеет функцию принадлежности:
maA(x) = amA(x).