Интегрирование по частям

Лекция №6.

Тема: «Методы интегрирования (замена, «по частям»)».

Основные вопросы:

Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки

Интегрирование по частям

Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки

Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для f(x) мы не сможем, но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

x=φ(t), (1)

где φ(t)-непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда dx= φ′(t)dt;докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство:

(2)

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х на основании равенства (1).

Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по х равны между собой. Находим производную от левой части: Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по х как сложную функцию, где t-промежуточный аргумент. Зависимость t от х выражается равенством (1), при этом и по правилу дифференцирования обратной функции .

Таким образом, имеем

 

Следовательно, производные от х от право й и левой частей равенства (2) равны, что и требовалось доказать.

Функцию следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2).

Замечание. При интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной не в виде , а в виде Проиллюстрируем это на примере. Пусть нужно вычислить интеграл, имеющий вид

.

Здесь удобно положить

,

тогда

.

Приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены переменных.

Пример 1.

Сделаем подстановку t=sin x; тогда dt= cosx dx и, следовательно,

Пример 2.

Полагаем t=1+x² ;тогда dt=2xdx и

Пример 3.

Полагаем ; тогда dx=a dt,

Пример 4. . Полагаем ; тогда dx=a dt,

(предполагается, что a>0).

Пример 5. Полагаем t=lnx; тогда

.

Пример 6. ? Полагаем ;тогда dt= 2xdx,

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким -либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения. Этому посвящены большая часть настоящего пункта.

 

 

Интегрирование по частям

Пусть u и v две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле:d(uv)=udv+vdu.Отсюда, интегрируя, получаем или

. (1)

Последняя формула называется формула интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскать функцию v по её дифференциалу dv и вычисления интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла . Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задачи, и мы покажем на ряде примеров, как это делается.

Пример 1. ? Положим u=x,dv=sinxdx;тогда du=dx,v= -cosx.Следовательно,

.

Замечание. При определении функции v по дифференциалу dv мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство(1) вместо v выражение v+C). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.

Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида

 

некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям.

Пример 2. Требуется вычислить . Положим u= arctg x, dv=dx;тогда . Следовательно,

Пример 3. Требуется вычислить . Положим тогда

.

Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая

Тогда

. Окончательно будем иметь

.